Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $30-18:3\cdot 2$ este egal cu:

1. A. $8$
2. B. $18$
3. C. $24$
4. D. $48$

2. (5p) Un tricou costă $80$ de lei. După o reducere cu $35\%$, prețul tricoului este egal cu:

1. A. $28$ de lei
2. B. $45$ de lei
3. C. $52$ de lei
4. D. $108$ lei

3. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=(-4,2]\cap\mathbb{Z}$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $5$
3. C. $6$
4. D. $7$

4. (5p) Dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a-b=3$ și $a\cdot b=5$, atunci $a^2+b^2$ este egal cu:

1. A. $-1$
2. B. $9$
3. C. $14$
4. D. $19$

5. (5p) Patru elevi, Radu, Elena, Bianca și Sorin, au calculat $\sqrt{48}-\sqrt{12}+\sqrt{27}$. Rezultatele obținute sunt: Radu $\sqrt{63}$, Elena $9\sqrt{3}$, Bianca $-\sqrt{3}$, Sorin $5\sqrt{3}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Radu
2. B. Elena
3. C. Bianca
4. D. Sorin

6. (5p) Cei $20$ de elevi ai unei clase au obținut la un test următoarele note: nota $6$: $3$ elevi, nota $7$: $5$ elevi, nota $8$: $6$ elevi, nota $9$: $4$ elevi, nota $10$: $2$ elevi. Afirmația „Media notelor obținute de cei $20$ de elevi este egală cu $8$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=14$ cm și $BC=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $BM$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $7$ cm
3. C. $10$ cm
4. D. $20$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în punctul $O$, iar măsura unghiului $AOC$ este de trei ori mai mare decât măsura unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOD$ este egală cu:

1. A. $22^\circ 30'$
2. B. $45^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $135^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$ și măsura unghiului $BAC$ egală cu $40^\circ$. Bisectoarea unghiului $ABC$ intersectează latura $AC$ în punctul $D$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

1. A. $70^\circ$
2. B. $75^\circ$
3. C. $105^\circ$
4. D. $110^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=14$ cm, $AD=10$ cm și măsura unghiului $DAB$ egală cu $30^\circ$. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $35$ cm$^2$
2. B. $48$ cm$^2$
3. C. $70$ cm$^2$
4. D. $140$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, segmentul $AC$ este diametru al cercului, iar măsura unghiului $BAC$ este egală cu $28^\circ$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. A. $14^\circ$
2. B. $28^\circ$
3. C. $56^\circ$
4. D. $62^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BB'$. Lungimea segmentului $D'M$ este egală cu:

1. A. $4\sqrt{2}$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $4\sqrt{3}$ cm
4. D. $2+4\sqrt{2}$ cm

1. (5p) Un elev are o sumă de bani. Dacă ar cumpăra $4$ caiete de același fel, i-ar rămâne $7$ lei, iar dacă ar cumpăra $6$ astfel de caiete, i-ar lipsi $5$ lei. a) ($2$p) Este posibil ca un caiet să coste $5$ lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină suma de bani pe care o are elevul.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-2x}\right):\frac{x+2}{x+5}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -5$, $x\neq -2$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-2x}=\frac{x+2}{x}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-3,0)$, $B(5,0)$ și $C(1,6)$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=16$ cm, $CD=9$ cm și $AD=12$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $150$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $15$ cm. Coarda $AB$ are lungimea de $24$ cm, iar tangentele la cerc în punctele $A$ și $B$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este egală cu $9$ cm. b) ($3$p) Arată că $PA=20$ cm.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4$ cm și $AA'=7$ cm. a) ($2$p) Arată că $B'D=9$ cm. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $B'D$ și planul $(BCC')$.