Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $4{,}5\cdot 2-1{,}8:0{,}6$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $7{,}92$
3. C. $8{,}7$
4. D. $12$

2. (5p) Opt muncitori, lucrând în același ritm, termină o lucrare în $15$ zile. Șase muncitori, lucrând în același ritm, termină aceeași lucrare într-un număr de zile egal cu:

1. A. $\frac{45}{4}$
2. B. $13$
3. C. $17$
4. D. $20$

3. (5p) Mulțimea $A$ este formată din divizorii naturali ai numărului $24$, iar mulțimea $B$ din divizorii naturali ai numărului $36$. Numărul elementelor mulțimii $A\cap B$ este egal cu:

1. A. $2$
2. B. $6$
3. C. $8$
4. D. $11$

4. (5p) Dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a+b=7$ și $a-b=3$, atunci $a^2-b^2$ este egal cu:

1. A. $10$
2. B. $21$
3. C. $29$
4. D. $40$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bianca, Ciprian și David, au rezolvat inecuația $-2x+5>11$, unde $x$ este număr real. Mulțimile soluțiilor obținute sunt: Ana $(-3,+\infty)$, Bianca $(-\infty,-3)$, Ciprian $(-\infty,-8)$, David $(3,+\infty)$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bianca
3. C. Ciprian
4. D. David

6. (5p) Afirmația „Numărul $0{,}(3)+0{,}(6)$ este număr natural.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$ și $AD=21$ cm. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. A. $7$ cm
2. B. $10{,}5$ cm
3. C. $14$ cm
4. D. $21$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$ sunt unghiuri în jurul punctului $O$, iar măsurile lor sunt direct proporționale cu numerele $3$, $4$, $5$ și $6$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $40^\circ$
3. C. $80^\circ$
4. D. $100^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=12$ cm, $AC=14$ cm și $BC=18$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$. Perimetrul patrulaterului $MNCB$ este egal cu:

1. A. $22$ cm
2. B. $31$ cm
3. C. $40$ cm
4. D. $44$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu perimetrul de $34$ cm și $AB=12$ cm. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $60$ cm$^2$
2. B. $132$ cm$^2$
3. C. $204$ cm$^2$
4. D. $264$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$, iar $m(\sphericalangle APB)=50^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $40^\circ$
2. B. $50^\circ$
3. C. $65^\circ$
4. D. $130^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu $AB=10$ cm și $VA=13$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. Lungimea apotemei $VM$ a piramidei este egală cu:

1. A. $\sqrt{119}$ cm
2. B. $12$ cm
3. C. $13$ cm
4. D. $\sqrt{194}$ cm

1. (5p) Andrei citește o carte. Dacă ar citi câte $8$ pagini pe zi, ar termina cartea cu $5$ zile mai târziu decât dacă ar citi câte $12$ pagini pe zi. a) ($2$p) Este posibil ca, citind câte $8$ pagini pe zi, Andrei să termine cartea în $10$ zile? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul de pagini ale cărții.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x-3)^2+2(x-3)(x+1)+(x+1)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=4(x-1)^2$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$ pentru care $E(a)=36$.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$, $B(3,-1)$, $C(6,3)$ și $D(2,6)$. a) ($2$p) Arată că $AB=BC$. b) ($3$p) Demonstrează că patrulaterul $ABCD$ este pătrat.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=15$ cm și $BC=20$ cm. Punctul $E$ aparține diagonalei $AC$, astfel încât $BE\perp AC$. a) ($2$p) Arată că $AC=25$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $AE$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, înscris în cercul de centru $O$ și rază $10$ cm. Punctul $D$ este diametral opus punctului $A$. a) ($2$p) Arată că $AB=10\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $ABDC$ este egală cu $100\sqrt{3}$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=9$ cm, $BC=12$ cm și $AA'=15$ cm. a) ($2$p) Arată că $A'C=15\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre dreapta $A'C$ și planul $(ABC)$.