Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2\cdot(25-3\cdot 7)+40:8$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $13$
3. C. $34$
4. D. $313$

2. (5p) Dacă $30\%$ dintr-un număr este egal cu $27$, atunci numărul este egal cu:

1. A. $8{,}1$
2. B. $35{,}1$
3. C. $63$
4. D. $90$

3. (5p) Rezultatul calculului $|2-\sqrt{7}|+|3-\sqrt{7}|$ este egal cu:

1. A. $5-2\sqrt{7}$
2. B. $2\sqrt{7}-5$
3. C. $1$
4. D. $5+2\sqrt{7}$

4. (5p) Soluția ecuației $3(x-2)=2x+5$ este:

1. A. $-1$
2. B. $\frac{11}{5}$
3. C. $7$
4. D. $11$

5. (5p) Patru elevi, Andrei, Maria, Ioana și Victor, au calculat $\frac{15}{\sqrt{5}}+\sqrt{45}$. Rezultatele obținute sunt: Andrei $6\sqrt{5}$, Maria $3+3\sqrt{5}$, Ioana $18\sqrt{5}$, Victor $3\sqrt{10}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Andrei
2. B. Maria
3. C. Ioana
4. D. Victor

6. (5p) Într-o cutie sunt $6$ bile roșii, $9$ bile albastre și $15$ bile verzi. Se extrage la întâmplare o bilă. Afirmația „Probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră este egală cu $\frac{3}{7}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=15$ cm, $BD=17$ cm și $AD=22$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $5$ cm
2. B. $7$ cm
3. C. $10$ cm
4. D. $32$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar o secantă le intersectează în punctele $M\in AB$ și $N\in CD$. Măsura unghiului $AMN$ este egală cu $(2x+20)^\circ$, iar măsura unghiului $MND$ este egală cu $(3x-5)^\circ$. Măsura unghiului $BMN$ este egală cu:

1. A. $25^\circ$
2. B. $70^\circ$
3. C. $94^\circ$
4. D. $110^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=30$ cm. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, iar punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Lungimea segmentului $AG$ este egală cu:

1. A. $5$ cm
2. B. $10$ cm
3. C. $15$ cm
4. D. $20$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu perimetrul egal cu $40$ cm și diagonala $AC=16$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $80$ cm$^2$
2. B. $96$ cm$^2$
3. C. $160$ cm$^2$
4. D. $192$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$ și rază $9$ cm, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $120^\circ$. Lungimea coardei $AB$ este egală cu:

1. A. $9$ cm
2. B. $9\sqrt{2}$ cm
3. C. $9\sqrt{3}$ cm
4. D. $18$ cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=5$ cm, $BC=3\sqrt{3}$ cm și $AA'=9$ cm. Măsura unghiului dintre dreapta $BC'$ și planul $(ABB')$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $45^\circ$
3. C. $60^\circ$
4. D. $90^\circ$

1. (5p) Prețul unui telefon s-a mărit cu $10\%$, iar apoi noul preț s-a micșorat cu $10\%$. După cele două modificări, telefonul costă $1188$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca, după cele două modificări, prețul telefonului să fie egal cu prețul inițial? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină prețul inițial al telefonului.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x+1)^2-(x+3)^2-3x(x-2)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=4x-8$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că numărul $N=(n+2)\cdot E(n)+16$ este pătratul unui număr natural, pentru orice număr natural $n$.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,1)$, $C(4,9)$ și $M(1,5)$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic. b) ($3$p) Arată că punctul $M$ se află la aceeași distanță de punctele $A$, $B$ și $C$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=12$ cm, $AD=6$ cm și măsura unghiului $DAB$ egală cu $60^\circ$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $BCM$ este echilateral. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AM$ și $BM$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm, $CD=6$ cm și aria egală cu $96$ cm$^2$. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că $OA=3\cdot OC$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $COD$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și înălțimea $VO=7$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor $AC$ și $BD$. a) ($2$p) Arată că $VA=9$ cm. b) ($3$p) Determină sinusul unghiului dintre dreapta $VA$ și planul $(VBD)$.