Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3\cdot(2^5-4^2)-36:4$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $12$
3. C. $39$
4. D. $63$

2. (5p) Numerele $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu numerele $7$ și $9$, iar $b-a=16$. Numărul $a$ este egal cu:

1. A. $56$
2. B. $72$
3. C. $112$
4. D. $128$

3. (5p) Cel mai mare divizor comun al numerelor $90$ și $126$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $9$
3. C. $18$
4. D. $630$

4. (5p) Inversul numărului $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ este egal cu:

1. A. $-\sqrt{6}+\sqrt{5}$
2. B. $11-2\sqrt{30}$
3. C. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{11}$
4. D. $\sqrt{6}+\sqrt{5}$

5. (5p) Patru elevi, Alina, Bianca, Cosmin și Dan, au rezolvat ecuația $\frac{x+2}{4}=\frac{x-3}{3}$. Soluțiile obținute sunt: Alina $x=-17$, Bianca $x=18$, Cosmin $x=5$, Dan $x=6$. Soluția corectă a fost obținută de:

1. A. Alina
2. B. Bianca
3. C. Cosmin
4. D. Dan

6. (5p) Într-o clasă sunt $12$ fete și $18$ băieți. Afirmația „Fetele reprezintă $40\%$ din numărul elevilor clasei.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctul $C$ aparține segmentului $AB$, astfel încât $\frac{AC}{CB}=\frac{3}{5}$, iar $AB=24$ cm. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. A. $8$ cm
2. B. $9$ cm
3. C. $14{,}4$ cm
4. D. $15$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $52^\circ$. Semidreptele $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele unghiurilor $AOB$, respectiv $BOC$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

1. A. $26^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $180^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle BAC)=40^\circ$ și $m(\sphericalangle ABC)=80^\circ$. Bisectoarele unghiurilor $ABC$ și $ACB$ se intersectează în punctul $I$. Măsura unghiului $BIC$ este egală cu:

1. A. $70^\circ$
2. B. $110^\circ$
3. C. $130^\circ$
4. D. $140^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm și $CD=10$ cm. Punctul $E$ aparține bazei $AB$, astfel încât $DE\perp AB$ și $DE=7$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $98$ cm$^2$
2. B. $126$ cm$^2$
3. C. $180$ cm$^2$
4. D. $196$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $BAD$ este egală cu $70^\circ$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $35^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=12$ cm, $BC=4$ cm și $AA'=6$ cm. Lungimea diagonalei $A'C$ este egală cu:

1. A. $4\sqrt{10}$ cm
2. B. $6\sqrt{5}$ cm
3. C. $14$ cm
4. D. $22$ cm

1. (5p) Suma a două numere naturale este $185$. Dacă împărțim numărul mai mare la numărul mai mic, obținem câtul $6$ și restul $10$. a) ($2$p) Este posibil ca numărul mai mic să fie $20$? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină cele două numere.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x-1)^2-(x-2)(x+2)-3x(x-1)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=5-x$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că numărul $N=E(\sqrt{5})\cdot E(-\sqrt{5})$ este natural.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(2,4)$ și $C(6,1)$. a) ($2$p) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $18$. b) ($3$p) Determină coordonatele punctului $D$ pentru care patrulaterul $ABCD$ este romb.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=20$ cm și $BC=8$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=4$ cm. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $ABE$ este egală cu $80$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AE$ și $BE$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată, coardele $AB$ și $CD$ ale cercului de centru $O$ și rază $20$ cm sunt paralele, $AB=32$ cm, $CD=24$ cm, iar centrul $O$ se află între cele două coarde. a) ($2$p) Arată că distanța de la punctul $O$ la dreapta $CD$ este egală cu $16$ cm. b) ($3$p) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $784$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=6\sqrt{2}$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $AC$. a) ($2$p) Arată că $A'B=6\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre dreapta $A'B$ și planul $(ACC')$.