Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $5\cdot 8-24:4+3$ este egal cu:

1. A. $7$
2. B. $13$
3. C. $31$
4. D. $37$

2. (5p) Dacă $3$ kg de mere costă $12{,}6$ lei, atunci $5$ kg de mere de același fel costă:

1. A. $4{,}2$ lei
2. B. $14{,}6$ lei
3. C. $21$ de lei
4. D. $63$ de lei

3. (5p) Media geometrică a numerelor $3$ și $27$ este egală cu:

1. A. $9$
2. B. $15$
3. C. $30$
4. D. $81$

4. (5p) Suma soluțiilor reale ale ecuației $x^2-9x+14=0$ este egală cu:

1. A. $-9$
2. B. $5$
3. C. $9$
4. D. $14$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Cristi și Dana, au calculat $\frac{14}{\sqrt{7}}+\sqrt{63}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $17\sqrt{7}$, Bogdan $5\sqrt{7}$, Cristi $2+3\sqrt{7}$, Dana $\sqrt{91}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Cristi
4. D. Dana

6. (5p) Într-o cutie sunt $6$ bile albe, $9$ bile roșii și $5$ bile verzi. Se extrage la întâmplare o bilă. Afirmația „Probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie este egală cu $0{,}45$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=18$ cm, $BD=14$ cm și $AD=24$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $6$ cm
2. B. $8$ cm
3. C. $10$ cm
4. D. $32$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar o secantă le intersectează în punctele $M\in AB$ și $N\in CD$. Măsura unghiului $AMN$ este egală cu $(3x+18)^\circ$, iar măsura unghiului $MND$ este egală cu $(5x-22)^\circ$. Măsura unghiului $AMN$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $78^\circ$
3. C. $87^\circ$
4. D. $102^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC=14$ cm și măsura unghiului $BAC$ egală cu $120^\circ$. Lungimea laturii $BC$ este egală cu:

1. A. $7\sqrt{3}$ cm
2. B. $14$ cm
3. C. $14\sqrt{2}$ cm
4. D. $14\sqrt{3}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu perimetrul de $68$ cm și diagonala $AC=30$ cm. Diagonalele se intersectează în punctul $O$. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $240$ cm$^2$
2. B. $289$ cm$^2$
3. C. $480$ cm$^2$
4. D. $510$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $ABC$ este egală cu $108^\circ$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $54^\circ$
2. B. $72^\circ$
3. C. $108^\circ$
4. D. $144^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o sferă de centru $O$ și rază $12$ cm. Volumul sferei este egal cu:

1. A. $192\pi$ cm$^3$
2. B. $576\pi$ cm$^3$
3. C. $1728\pi$ cm$^3$
4. D. $2304\pi$ cm$^3$

1. (5p) Media aritmetică a notelor obținute de Ioana la cinci teste de matematică este $7{,}80$. Fiecare notă este un număr natural de la $1$ la $10$. a) ($2$p) Este posibil ca, după al șaselea test, media celor șase note ale Ioanei să fie $9$? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Ioana vrea ca, după al șaselea test, media celor șase note să fie cel puțin $7{,}50$. Determină cea mai mică notă cu care poate reuși acest lucru.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(x-\frac{4}{x}\right):\frac{x-2}{x^2}$, unde $x$ este număr real, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=x^2+2x$, pentru orice număr real $x$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele reale $x$ pentru care $E(x)=8$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{4}x+3$. a) ($2$p) Arată că $f(4)+f(-4)=6$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină sinusul unghiului $OAB$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=20$ cm și $AD=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar dreptele $AM$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $ABM$ este egală cu $150$ cm$^2$. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $ABP$ este egală cu $100$ cm$^2$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este diametru al cercului de centru $O$, $AB=34$ cm, iar punctul $C$ aparține cercului, astfel încât $AC=16$ cm. a) ($2$p) Arată că $BC=30$ cm. b) ($3$p) Arată că aria porțiunii din interiorul cercului situate în exteriorul triunghiului $ABC$ este mai mare decât $600$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=10$ cm și înălțimea $VO=12$ cm, unde $O$ este centrul pătratului $ABCD$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $260$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$.