Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2^5-3\cdot 2^3+4$ este egal cu:

1. A. $-10$
2. B. $4$
3. C. $12$
4. D. $18$

2. (5p) Cel mai mic număr natural nenul care este multiplu atât al lui $14$, cât și al lui $21$ este:

1. A. $7$
2. B. $35$
3. C. $42$
4. D. $294$

3. (5p) Rezultatul calculului $|3-\sqrt{10}|+|4-\sqrt{10}|$ este egal cu:

1. A. $-1$
2. B. $2\sqrt{10}-7$
3. C. $7-2\sqrt{10}$
4. D. $1$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $2x-7\le 5x+2$ este:

1. A. $(-\infty,-3]$
2. B. $[-3,+\infty)$
3. C. $(-3,+\infty)$
4. D. $[3,+\infty)$

5. (5p) Patru elevi, Andrei, Bogdan, Cosmin și Dragoș, au calculat $20\%$ din $30\%$ din $500$. Rezultatele obținute sunt: Andrei $250$, Bogdan $100$, Cosmin $3000$, Dragoș $30$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Andrei
2. B. Bogdan
3. C. Cosmin
4. D. Dragoș

6. (5p) Afirmația „Ecuația $x^2=2x$ are o singură soluție reală.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=16$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $6$ cm
2. B. $8$ cm
3. C. $13$ cm
4. D. $26$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, iar măsura unghiului $AOC$ este egală cu $136^\circ$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

1. A. $68^\circ$
2. B. $90^\circ$
3. C. $112^\circ$
4. D. $136^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ cm și $AC=12$ cm, iar $AD\perp BC$, $D\in BC$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $7{,}2$ cm
2. B. $7{,}5$ cm
3. C. $10{,}5$ cm
4. D. $15$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ cm, $CD=14$ cm și $AD=BC=13$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $228$ cm$^2$
2. B. $247$ cm$^2$
3. C. $288$ cm$^2$
4. D. $456$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $8$ cm. Dreapta $PA$ este tangentă cercului în punctul $A$, iar $PA=15$ cm. Lungimea segmentului $PO$ este egală cu:

1. A. $7$ cm
2. B. $\sqrt{161}$ cm
3. C. $17$ cm
4. D. $23$ cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei $OA=4$ cm și înălțimea de $9$ cm. Aria laterală a cilindrului este egală cu:

1. A. $36\pi$ cm$^2$
2. B. $72\pi$ cm$^2$
3. C. $104\pi$ cm$^2$
4. D. $144\pi$ cm$^2$

1. (5p) La un spectacol s-au vândut $160$ de bilete, unele cu prețul de $20$ de lei, celelalte cu prețul de $35$ de lei, și s-au încasat în total $4250$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca exact $50$ dintre bilete să fi costat $35$ de lei fiecare? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul biletelor de $35$ de lei vândute.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+4)^2+(x-2)(x+2)-2x(x+1)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=6(x+2)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că numărul $N=E(1)+E(2)+E(3)+\ldots+E(15)$ este pătratul unui număr natural.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax-5$, unde $a$ este număr real. Punctul $A(3,1)$ aparține graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $a=2$. b) ($3$p) Determină numerele reale $m$ pentru care punctul $M(m,m^2-8)$ aparține graficului funcției $f$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $BC=21$ cm. Punctele $D\in AB$ și $E\in AC$ sunt astfel încât $DE\parallel BC$, $AD=6$ cm și $DB=8$ cm. a) ($2$p) Arată că $DE=9$ cm. b) ($3$p) Arată că raportul dintre aria triunghiului $ADE$ și aria patrulaterului $DBCE$ este egal cu $\frac{9}{40}$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat $ABCDEF$, înscris în cercul de centru $O$ și rază $12$ cm. a) ($2$p) Arată că perimetrul hexagonului $ABCDEF$ este egal cu $72$ cm. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $ACE$ este egală cu $108\sqrt{3}$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=8$ cm și $AA'=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul prismei este egal cu $64\sqrt{3}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planele $(A'BC)$ și $(ABC)$.