Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $7\cdot(18-3\cdot 4)-5$ este egal cu:

1. A. $7$
2. B. $37$
3. C. $109$
4. D. $415$

2. (5p) La o tarabă din piață, un kilogram de mere costă $6$ lei. Un client cumpără $4$ kg de mere și primește o reducere de $15\%$ din suma de plată. Clientul plătește:

1. A. $3{,}6$ lei
2. B. $20{,}4$ lei
3. C. $23{,}1$ lei
4. D. $23{,}4$ lei

3. (5p) Cel mai mic număr natural de trei cifre care este divizibil cu $6$ și cu $15$ este:

1. A. $102$
2. B. $105$
3. C. $120$
4. D. $180$

4. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\mathbb{N}\cap(-\infty,2\sqrt{7})$ este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $5$
3. C. $6$
4. D. $14$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Mihai, Ioana și Victor, au scris forma cea mai simplă a expresiei $(x-3)^2-(x+3)^2$, unde $x$ este număr real. Rezultatele obținute sunt: Ana $-12x$, Mihai $-18$, Ioana $18$, Victor $12x$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Mihai
3. C. Ioana
4. D. Victor

6. (5p) Un vânzător din piață a notat cantitățile de mere vândute în cele șase zile ale unei săptămâni în care a avut taraba deschisă: luni $14$ kg, marți $18$ kg, miercuri $11$ kg, joi $20$ kg, vineri $25$ kg și sâmbătă $32$ kg. Afirmația „În cele șase zile, vânzătorul a vândut, în medie, $20$ kg de mere pe zi.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $MB$. Știind că $AN=18$ cm, lungimea segmentului $NB$ este egală cu:

1. A. $6$ cm
2. B. $9$ cm
3. C. $12$ cm
4. D. $18$ cm

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=70^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=34^\circ$. Punctele $D$ și $E$ aparțin laturii $BC$, astfel încât $AD\perp BC$, iar $AE$ este bisectoarea unghiului $BAC$. Măsura unghiului $DAE$ este egală cu:

1. A. $18^\circ$
2. B. $20^\circ$
3. C. $36^\circ$
4. D. $38^\circ$

3. (5p) În figura alăturată, segmentele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $O$, iar $AB\parallel CD$. Știind că $OA=4$ cm, $OB=5$ cm, $AB=6$ cm și $OD=10$ cm, perimetrul triunghiului $OCD$ este egal cu:

1. A. $15$ cm
2. B. $33$ cm
3. C. $37{,}5$ cm
4. D. $93{,}75$ cm

4. (5p) În figura alăturată, paralelogramul $ABCD$ este desenat pe o rețea de pătrățele cu latura de $2$ cm; vârfurile lui sunt noduri ale rețelei. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $20$ cm$^2$
2. B. $40$ cm$^2$
3. C. $80$ cm$^2$
4. D. $40\sqrt{5}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, punctul $C$ aparține cercului, iar $m(\sphericalangle AOC)=76^\circ$. Măsura unghiului $OCB$ este egală cu:

1. A. $14^\circ$
2. B. $38^\circ$
3. C. $52^\circ$
4. D. $76^\circ$

6. (5p) O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic, ca în figura alăturată, cu lungimea de $20$ cm, lățimea de $15$ cm și înălțimea de $10$ cm. Cutia este legată cu o panglică în cruce: panglica înconjoară cutia o dată pe lungime și o dată pe lățime, trecând prin mijloacele fețelor. Lungimea panglicii, fără nod, este egală cu:

1. A. $60$ cm
2. B. $70$ cm
3. C. $90$ cm
4. D. $110$ cm

1. (5p) La o tarabă din piață, Ana cumpără $3$ kg de mere și $2$ kg de pere și plătește $31$ de lei. De la aceeași tarabă, Bogdan cumpără $2$ kg de mere și $3$ kg de pere și plătește $34$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca un kilogram de mere să coste $7$ lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină prețul unui kilogram de pere.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+3)^2-2(x+3)+1$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x+2)^2$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)<9$.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-3,1)$, $B(5,1)$, $C(5,7)$ și $D(1,7)$. a) ($2$p) Arată că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $36$. b) ($3$p) Determină coordonatele punctului $M$, situat pe segmentul $AB$, pentru care segmentul $DM$ împarte patrulaterul $ABCD$ în două figuri cu arii egale.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=14$ cm și $BC=20$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $E$. a) ($2$p) Arată că aria patrulaterului $AMCD$ este egală cu $210$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că $BE=AB$.

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, iar coarda $CD$ este perpendiculară pe $AB$ în punctul $M$, situat între $A$ și $O$. Știind că $AM=2$ cm și $MB=16$ cm: a) ($2$p) Arată că $OM=7$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea coardei $CD$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$, cu baza trapezul dreptunghic $ABCD$, în care $AB\parallel CD$, $AB\perp BC$, $AB=12$ cm, $BC=CD=6$ cm, iar $AA'=7$ cm. a) ($2$p) Arată că dreptele $AD$ și $BD$ sunt perpendiculare. b) ($3$p) Determină sinusul unghiului dintre dreapta $AD'$ și planul $(BDD')$.