Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $56-4\cdot 3^2+10:5$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $18$
3. C. $22$
4. D. $34$

2. (5p) Un înotător parcurge $4$ lungimi de bazin în $3$ minute. Păstrând același ritm, în $15$ minute el parcurge un număr de lungimi de bazin egal cu:

1. A. $0{,}8$
2. B. $5$
3. C. $16$
4. D. $20$

3. (5p) Trei alergători pornesc în același moment de la linia de start a unei piste circulare și aleargă fără oprire, fiecare în ritmul lui: primul parcurge un tur în $4$ minute, al doilea în $6$ minute, iar al treilea în $10$ minute. Cei trei trec din nou, toți în același moment, prin dreptul liniei de start, pentru prima dată, după un număr de minute egal cu:

1. A. $2$
2. B. $12$
3. C. $60$
4. D. $240$

4. (5p) Numărul $\sqrt{10}\cdot\left(\sqrt{40}+\sqrt{90}\right)$ este egal cu:

1. A. $5\sqrt{10}$
2. B. $20+3\sqrt{10}$
3. C. $10\sqrt{13}$
4. D. $50$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $(-2)^4-(-3)^3$. Rezultatele obținute sunt: Ana $-11$, Bogdan $43$, Carmen $11$, Dan $1$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Un baschetbalist a marcat, în cinci meciuri, următoarele numere de puncte: $12$, $18$, $9$, $23$, $13$. Afirmația „Media aritmetică a numerelor de puncte marcate de baschetbalist în cele cinci meciuri este egală cu $15$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Un teren de fotbal are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=100$ m și $BC=64$ m. Linia de centru $MN$ unește mijlocul $M$ al laturii $AB$ cu mijlocul $N$ al laturii $CD$. Perimetrul dreptunghiului $AMND$ este egal cu:

1. A. $164$ m
2. B. $228$ m
3. C. $328$ m
4. D. $392$ m

2. (5p) În figura alăturată, semidreptele $OA$ și $OC$ sunt perpendiculare, semidreapta $OB$ este situată în interiorul unghiului $AOC$, iar $OD$ este semidreapta opusă semidreptei $OB$. Știind că $m(\sphericalangle AOB)=35^\circ$, măsura unghiului $COD$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $125^\circ$
4. D. $145^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$ și $m(\sphericalangle BAC)=44^\circ$. Punctul $D$ aparține laturii $AC$, astfel încât $BD=BC$. Măsura unghiului $ABD$ este egală cu:

1. A. $12^\circ$
2. B. $24^\circ$
3. C. $68^\circ$
4. D. $112^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=8$ cm, $AC=10$ cm și $m(\sphericalangle BAC)=150^\circ$. Punctul $E$ este piciorul perpendicularei din $C$ pe dreapta $AB$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $20$ cm$^2$
2. B. $25$ cm$^2$
3. C. $20\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $40$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat $ABCDEF$, înscris în cercul de centru $O$ și rază $10$ cm. Distanța dintre dreptele paralele $AB$ și $DE$ este egală cu:

1. A. $5\sqrt{3}$ cm
2. B. $10$ cm
3. C. $10\sqrt{3}$ cm
4. D. $20$ cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia de $8$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $4\sqrt{2}$ cm
3. C. $4\sqrt{3}$ cm
4. D. $8$ cm

1. (5p) Doi alergători pornesc în același moment, din același punct și în același sens, pe o pistă circulară cu lungimea de $400$ m. Primul aleargă cu viteza constantă de $5$ m/s, iar al doilea cu viteza constantă de $3$ m/s. a) ($2$p) Este posibil ca, după $3$ minute de la start, primul alergător să-l fi ajuns din urmă pe al doilea? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină după câte secunde de la start primul alergător îl ajunge din urmă, pentru prima dată, pe al doilea.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}-\frac{1}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x-1}{x+1}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$. b) ($3$p) Arată că $E(a)+E\left(\frac{1}{a}\right)=0$, pentru orice număr real $a$, $a\neq 0$ și $a\neq -1$.

3. (5p) Pe un teren de fotbal, reprezentat într-un sistem de axe ortogonale $xOy$, trei jucători se află în punctele $A(-3,-1)$, $B(5,3)$ și $C(3,5)$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului $CAB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=14$ cm, $CD=7$ cm, iar distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este de $6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul bazei $AB$. a) ($2$p) Arată că patrulaterul $AMCD$ este paralelogram. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $BCM$ este o treime din aria trapezului $ABCD$.

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$ și rază $4$ cm, iar $OP=4\sqrt{5}$ cm. Tangenta la cerc în punctul $T$, situat pe arcul mic $AB$, intersectează segmentele $PA$ și $PB$ în punctele $M$, respectiv $N$. a) ($2$p) Arată că $PA=8$ cm. b) ($3$p) Arată că perimetrul triunghiului $PMN$ este egal cu $16$ cm.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu bazele pătratele $ABCD$ și $A'B'C'D'$, $AB=14$ cm, $A'B'=8$ cm și muchia laterală $AA'=6$ cm. a) ($2$p) Arată că înălțimea trunchiului de piramidă este egală cu $3\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Arată că dreptele $AA'$ și $CC'$ sunt perpendiculare.