Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3{,}6:1{,}2+0{,}5\cdot 8$ este egal cu:

1. A. $4{,}3$
2. B. $7$
3. C. $28$
4. D. $43$

2. (5p) Prețul unui abonament lunar la o sală de sport a scăzut de la $150$ de lei la $120$ de lei. Prețul abonamentului a scăzut cu:

1. A. $20\%$
2. B. $25\%$
3. C. $30\%$
4. D. $80\%$

3. (5p) Cel mai mare dintre numerele $7{,}2$, $2\sqrt{13}$, $\sqrt{51}$ și $5\sqrt{2}$ este:

1. A. $5\sqrt{2}$
2. B. $\sqrt{51}$
3. C. $7{,}2$
4. D. $2\sqrt{13}$

4. (5p) Soluția ecuației $0{,}2x+1{,}5=0{,}5x$ este:

1. A. $0{,}5$
2. B. $3$
3. C. $5$
4. D. $7{,}5$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au simplificat fracția $\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este un număr real, $x\neq 0$ și $x\neq 4$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{4}{x}$, Bogdan $x+4$, Carmen $\frac{x+4}{x}$, Dan $\frac{x-4}{x}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) O echipă de handbal a jucat $24$ de meciuri într-un campionat: a câștigat $15$ meciuri, a pierdut $6$, iar celelalte s-au terminat la egalitate. Afirmația „Meciurile terminate la egalitate reprezintă $20\%$ din meciurile jucate.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Figura alăturată reprezintă, văzut de sus, un bazin de înot cu lățimea $AB=20$ m, împărțit în $8$ culoare de aceeași lățime, numerotate de la $1$ la $8$ începând din dreptul punctului $A$. Punctul $M$ este mijlocul lățimii culoarului $2$, iar punctul $N$ este mijlocul lățimii culoarului $6$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $7{,}5$ m
2. B. $10$ m
3. C. $12{,}5$ m
4. D. $13{,}75$ m

2. (5p) În figura alăturată, semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$, cu $m(\sphericalangle AOB)=70^\circ$. Punctul $M$ aparține semidreptei $OA$, iar paralela prin $M$ la dreapta $OB$ intersectează semidreapta $OC$ în punctul $N$. Măsura unghiului $MNO$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic și isoscel, cu $m(\sphericalangle BAC)=90^\circ$ și $AB=AC$. Punctul $D$ aparține ipotenuzei $BC$, astfel încât $BD=AB$. Măsura unghiului $DAC$ este egală cu:

1. A. $22^\circ 30'$
2. B. $45^\circ$
3. C. $67^\circ 30'$
4. D. $90^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=12$ cm și $m(\sphericalangle ABC)=30^\circ$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $18$ cm$^2$
2. B. $18\sqrt{3}$ cm$^2$
3. C. $36$ cm$^2$
4. D. $36\sqrt{3}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat $ABCDEF$, înscris în cercul de centru $O$. Măsura unghiului $ADB$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $120^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu $AB=6$ cm și muchia laterală $VA=7$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar punctul $M$ este mijlocul muchiei $VB$. Lungimea segmentului $OM$ este egală cu:

1. A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm
2. B. $\frac{\sqrt{31}}{2}$ cm
3. C. $3{,}5$ cm
4. D. $\sqrt{31}$ cm

1. (5p) Fiecare sportiv al unui club practică fie înotul, fie atletismul. Raportul dintre numărul înotătorilor și numărul atleților este $\frac{3}{5}$. După ce la club se mai înscriu $6$ înotători, raportul dintre numărul înotătorilor și numărul atleților devine $\frac{3}{4}$. a) ($2$p) Este posibil ca, la început, clubul să fi avut în total $30$ de sportivi? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul înotătorilor de la început.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+3}{x-3}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Arată că $E(a)\cdot E(-a)=1$, pentru orice număr real $a$, $a\neq -3$ și $a\neq 3$.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(1,5)$ și $B(7,1)$. a) ($2$p) Arată că $AB=2\sqrt{13}$. b) ($3$p) Determină coordonatele punctului $P$ care are abscisa egală cu ordonata și pentru care $PA=PB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu diagonala $AC=15$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AD$, respectiv $BC$, iar dreptele $BE$ și $DF$ intersectează diagonala $AC$ în punctele $P$, respectiv $Q$. a) ($2$p) Arată că patrulaterul $BEDF$ este paralelogram. b) ($3$p) Arată că $PQ=5$ cm.

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$. Tangenta la cerc în punctul $T$ intersectează tangentele la cerc în punctele $A$ și $B$ în punctele $C$, respectiv $D$, astfel încât $AC=2$ cm și $BD=6$ cm. a) ($2$p) Arată că $CD=8$ cm. b) ($3$p) Arată că raza cercului este egală cu $2\sqrt{3}$ cm.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida hexagonală regulată $VABCDEF$, cu latura bazei $AB=4$ cm și muchia laterală $VA=4\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei. a) ($2$p) Arată că înălțimea $VO$ a piramidei este egală cu $4$ cm. b) ($3$p) Arată că dreptele $VA$ și $VD$ sunt perpendiculare.