Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2\cdot(-3)^2-(-8):(-2)^2$ este egal cu:

1. A. $-16$
2. B. $2$
3. C. $16$
4. D. $20$

2. (5p) Un antrenament de înot începe la ora 16:45 și durează o oră și $20$ de minute. Antrenamentul se termină la ora:

1. A. 17:05
2. B. 17:45
3. C. 18:05
4. D. 18:45

3. (5p) Cei $20$ de jucători ai unui lot au pe tricouri numerele $1, 2, 3, \ldots, 20$, fiecare număr o singură dată. Se alege la întâmplare un jucător. Probabilitatea ca numărul de pe tricoul lui să fie multiplu de $3$ este egală cu:

1. A. $\frac{3}{20}$
2. B. $\frac{3}{10}$
3. C. $\frac{1}{3}$
4. D. $\frac{3}{7}$

4. (5p) Media aritmetică a numerelor $2\sqrt{3}$ și $\sqrt{48}$ este egală cu:

1. A. $\sqrt{15}$
2. B. $2\sqrt{6}$
3. C. $3\sqrt{3}$
4. D. $6\sqrt{3}$

5. (5p) Un cronometru electronic a măsurat timpul unui sprinter: $10{,}4562$ secunde. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au rotunjit acest timp la sutimi de secundă. Rezultatele obținute sunt: Ana $10{,}45$, Bogdan $10{,}46$, Carmen $10{,}5$, Dan $10{,}456$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Numărul $\sqrt{2^4+2^4}$ este număr natural.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $C$, $D$ și $B$ sunt situate, în această ordine, pe o pistă dreaptă de alergare, cu $AB=100$ m. Distanța $AC$ reprezintă $25\%$ din distanța $AB$, iar punctul $D$ este situat la $30$ m înainte de $B$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

1. A. $45$ m
2. B. $55$ m
3. C. $70$ m
4. D. $75$ m

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, ale cărui diagonale se intersectează în punctul $O$. Știind că $m(\sphericalangle BAC)=35^\circ$, măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$. Punctul $D$ este situat pe semidreapta $BC$, astfel încât $C$ este între $B$ și $D$, iar $CD=BC$. Măsura unghiului $BAD$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $120^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu latura de $6$ cm, și arcul de cerc $BD$, cu centrul în punctul $A$ și raza $AB$. Aria porțiunii din pătrat situate în afara sectorului de disc $BAD$ este egală cu:

1. A. $(36-9\pi)$ cm$^2$
2. B. $(36-3\pi)$ cm$^2$
3. C. $9\pi$ cm$^2$
4. D. $36$ cm$^2$

5. (5p) Figura alăturată reprezintă schematic un culoar al unei piste de atletism. Marginea interioară a culoarului este formată din două segmente paralele, fiecare cu lungimea de $100$ m, și din două semicercuri cu raza de $36$ m. Marginea exterioară este formată din două segmente paralele, tot de câte $100$ m, și din două semicercuri cu aceleași centre și cu raza de $37$ m. Lungimea marginii exterioare este mai mare decât lungimea marginii interioare cu:

1. A. $2$ m
2. B. $\pi$ m
3. C. $2\pi$ m
4. D. $4\pi$ m

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=7$ cm. Distanța dintre dreptele $AA'$ și $CC'$ este egală cu:

1. A. $6\sqrt{2}$ cm
2. B. $\sqrt{85}$ cm
3. C. $11$ cm
4. D. $12$ cm

1. (5p) Pentru un concurs, un atlet se antrenează cinci zile la rând. În fiecare zi, începând cu a doua, el aleargă cu $2$ km mai mult decât în ziua precedentă. În cele cinci zile atletul a alergat, în total, $40$ km. a) ($2$p) Este posibil ca în prima zi atletul să fi alergat $5$ km? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină câți kilometri a alergat atletul în a cincea zi.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1}\cdot\frac{1}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$ și $x\neq 1$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x}{(x+1)^2}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 1$. b) ($3$p) Arată că $E(x)\le\frac{1}{4}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 1$.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $A(2,5)$. a) ($2$p) Arată că $OA=\sqrt{29}$. b) ($3$p) Determină coordonatele punctului $B$, situat pe axa $Oy$ și diferit de $O$, pentru care $AB=AO$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu latura de $8$ cm. Punctele $E$ și $F$ aparțin laturilor $BC$, respectiv $CD$, astfel încât $BE=CF=2$ cm, iar dreptele $AE$ și $BF$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că $BF=2\sqrt{17}$ cm. b) ($3$p) Arată că dreptele $AE$ și $BF$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate cercurile de centre $O_1$ și $O_2$, care au aceeași rază, de $8$ cm, astfel încât fiecare cerc trece prin centrul celuilalt cerc. Cercurile se intersectează în punctele $A$ și $B$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $O_1AO_2$ este echilateral. b) ($3$p) Arată că $AB=8\sqrt{3}$ cm.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că $B'C=2\sqrt{13}$ cm. b) ($3$p) Arată că dreptele $AM$ și $B'C$ sunt perpendiculare.