Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $[84-3\cdot(12-4)]:4$ este egal cu:

1. A. $13$
2. B. $15$
3. C. $78$
4. D. $162$

2. (5p) Pentru a vopsi un gard cu lungimea de $24$ m s-au folosit $9$ kg de vopsea. Pentru a vopsi la fel un gard de aceeași înălțime, cu lungimea de $40$ m, numărul de kilograme de vopsea necesare este egal cu:

1. A. $5{,}4$
2. B. $6$
3. C. $15$
4. D. $25$

3. (5p) Din plăci de gresie dreptunghiulare, toate cu dimensiunile de $24$ cm și $36$ cm, așezate una lângă alta și orientate toate la fel, se formează un pătrat. Cea mai mică lungime posibilă a laturii pătratului este egală cu:

1. A. $12$ cm
2. B. $60$ cm
3. C. $72$ cm
4. D. $864$ cm

4. (5p) Dacă $x$ este un număr real nenul astfel încât $x+\frac{1}{x}=4$, atunci numărul $x^2+\frac{1}{x^2}$ este egal cu:

1. A. $14$
2. B. $15$
3. C. $16$
4. D. $18$

5. (5p) Un grădinar amestecă $6$ kg de semințe de gazon care costă $12$ lei kilogramul cu $4$ kg de semințe care costă $22$ de lei kilogramul. Patru elevi au calculat prețul unui kilogram de amestec și au obținut: Ana $16$ lei, Bogdan $17$ lei, Cristina $18$ lei, Dan $80$ de lei. Prețul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Cristina
4. D. Dan

6. (5p) Într-o grădină s-au plantat $25$ de răsaduri, iar $4$ dintre ele nu s-au prins. Afirmația „$84\%$ dintre răsaduri s-au prins.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $M$ și $N$ împart segmentul $AB$, cu $AB=30$ cm, în trei segmente congruente: $AM=MN=NB$. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $NB$. Lungimea segmentului $MP$ este egală cu:

1. A. $5$ cm
2. B. $10$ cm
3. C. $15$ cm
4. D. $20$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare, iar măsura unghiului $AOB$ este cu $18^\circ$ mai mare decât măsura unghiului $BOC$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

1. A. $45^\circ$
2. B. $54^\circ$
3. C. $63^\circ$
4. D. $72^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=35^\circ$. Mediatoarea laturii $BC$ intersectează latura $AB$ în punctul $D$, iar $M$ este mijlocul laturii $BC$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=72$ m, $CD=12$ m și $BC=61$ m. Aria terenului este egală cu:

1. A. $132$ m$^2$
2. B. $462$ m$^2$
3. C. $924$ m$^2$
4. D. $2562$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, iar punctele $C$ și $O$ se află de aceeași parte a dreptei $AB$. Știind că $m(\sphericalangle OAB)=25^\circ$, măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $25^\circ$
2. B. $65^\circ$
3. C. $115^\circ$
4. D. $130^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=4\sqrt{3}$ cm, $BC=4$ cm și $AA'=5$ cm. Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $B'D'$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $120^\circ$

1. (5p) Un grădinar montează un gard drept, sprijinit pe stâlpi așezați la distanțe egale, cu câte un stâlp la fiecare capăt al gardului. Dacă distanța dintre oricare doi stâlpi vecini este de $2$ m, sunt necesari cu $15$ stâlpi mai mulți decât dacă distanța dintre oricare doi stâlpi vecini este de $3$ m. a) ($2$p) Este posibil ca lungimea gardului să fie de $60$ m? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină lungimea gardului.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)+1$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=x^4$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Demonstrează că numărul $N=1+19\cdot 21\cdot 401$ este pătratul unui număr natural.

3. (5p) Pe planul unei grădini, desenat într-un sistem de axe ortogonale $xOy$ în care unitatea de măsură este metrul, o fântână este reprezentată de punctul $F(1,2)$, iar doi pomi de punctele $A(-2,-3)$ și $B(6,-1)$. a) ($2$p) Arată că fântâna se află la aceeași distanță de cei doi pomi, adică $FA=FB$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $F$ la dreapta $AB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu $AB=12$ cm și $m(\sphericalangle BAD)=60^\circ$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar dreptele $DM$ și $AC$ se intersectează în punctul $N$. a) ($2$p) Arată că $BD=12$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $DN$.

5. (5p) Un teren are forma triunghiului $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ m și $AC=35$ m. În interiorul terenului se amenajează un rond de flori în formă de disc, al cărui cerc, de centru $I$, este tangent la toate cele trei laturi ale triunghiului, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că $BC=37$ m. b) ($3$p) Determină raza rondului de flori.

6. (5p) O cutie pentru răsaduri are forma paralelipipedului dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ din figura alăturată, cu $AB=8$ dm, $AD=4$ dm și $AA'=2$ dm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $AB$. a) ($2$p) Arată că dreptele $DM$ și $MC$ sunt perpendiculare. b) ($3$p) Determină sinusul unghiului dintre dreapta $D'M$ și planul $(ABC)$.