Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $(1{,}2+0{,}8)\cdot 3-1{,}5:0{,}5$ este egal cu:

1. A. $0{,}6$
2. B. $3$
3. C. $5{,}7$
4. D. $9$

2. (5p) Într-o clasă sunt $27$ de elevi, iar raportul dintre numărul băieților și numărul fetelor este $\frac{4}{5}$. Numărul fetelor din clasă este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $9$
3. C. $12$
4. D. $15$

3. (5p) Cel mai mic număr natural de trei cifre care se divide atât cu $15$, cât și cu $20$ este:

1. A. $100$
2. B. $105$
3. C. $120$
4. D. $300$

4. (5p) Dacă $x$ și $y$ sunt numere nenule, cu $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$, atunci valoarea raportului $\frac{2x+y}{y-x}$ este egală cu:

1. A. $-\frac{13}{2}$
2. B. $-\frac{11}{2}$
3. C. $4$
4. D. $\frac{11}{2}$

5. (5p) Patru elevi au calculat media aritmetică a numerelor $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ și au obținut: Ana $\frac{2}{5}$, Bogdan $\frac{5}{6}$, Carmen $\frac{5}{12}$, Dana $\frac{1}{5}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dana

6. (5p) Afirmația „Numărul $-7$ este soluție a ecuației $x^2+4x-21=0$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctul $C$ aparține segmentului $AB$, cu $AB=24$ cm și $AC=3\cdot CB$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $CB$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $12$ cm
2. B. $15$ cm
3. C. $18$ cm
4. D. $21$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, punctele $A$ și $D$ aparțin dreptei $a$, punctele $B$ și $C$ aparțin dreptei $b$, iar punctul $P$ se află între cele două drepte. Măsura unghiului $DAP$ este egală cu $38^\circ$, iar măsura unghiului $PBC$ este egală cu $46^\circ$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

1. A. $8^\circ$
2. B. $84^\circ$
3. C. $96^\circ$
4. D. $172^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=9$ cm, $AC=12$ cm și $BC=14$ cm. Bisectoarea unghiului $BAC$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$. Lungimea segmentului $BD$ este egală cu:

1. A. $6$ cm
2. B. $7$ cm
3. C. $8$ cm
4. D. $10{,}5$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=16$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=6$ cm. Aria patrulaterului $ABCE$ este egală cu:

1. A. $30$ cm$^2$
2. B. $110$ cm$^2$
3. C. $130$ cm$^2$
4. D. $160$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, iar punctele $C$ și $D$ aparțin cercului, de o parte și de alta a dreptei $AB$. Măsura unghiului $CAB$ este egală cu $34^\circ$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $34^\circ$
2. B. $56^\circ$
3. C. $68^\circ$
4. D. $112^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu $AB=8$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, iar apotema piramidei este $VM=9$ cm. Aria laterală a piramidei este egală cu:

1. A. $36$ cm$^2$
2. B. $144$ cm$^2$
3. C. $208$ cm$^2$
4. D. $288$ cm$^2$

1. (5p) Paginile revistei școlii sunt numerotate cu numerele $1, 2, 3, \ldots$, fiecare pagină cu un număr, iar pentru numerotarea tuturor paginilor s-au scris în total $309$ cifre. a) ($2$p) Este posibil ca revista să aibă $100$ de pagini? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul paginilor revistei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{x+5}{x^2-1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$ și $x\neq 1$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{1}{x+1}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 1$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$, $n\neq 1$, pentru care $E(n)\geq\frac{1}{5}$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. a) ($2$p) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $P(a,5)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină măsura unghiului $OAB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$. Punctul $E$ se află în interiorul pătratului, astfel încât triunghiul $BCE$ este echilateral. a) ($2$p) Arată că măsura unghiului $ABE$ este egală cu $30^\circ$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului $AED$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4\sqrt{3}$ cm și $AC=4\sqrt{6}$ cm, înscris în cercul de centru $O$. Perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $D$ și cercul a doua oară în punctul $E$. a) ($2$p) Arată că raza cercului este egală cu $6$ cm. b) ($3$p) Arată că $BE=4\sqrt{3}$ cm.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $CC'$, iar $O$ este centrul bazei $ABCD$. a) ($2$p) Arată că volumul prismei este egal cu $432$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $C$ la planul $(MBD)$.