Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $5\cdot 2^3-(18-3\cdot 4):2$ este egal cu:

1. A. $10$
2. B. $17$
3. C. $27$
4. D. $37$

2. (5p) Numărul elevilor unei școli a crescut de la $400$ la $500$. Numărul elevilor a crescut cu:

1. A. $20\%$
2. B. $25\%$
3. C. $100\%$
4. D. $125\%$

3. (5p) Numărul natural $n$ pentru care $n<\sqrt{90}<n+1$ este egal cu:

1. A. $9$
2. B. $10$
3. C. $45$
4. D. $81$

4. (5p) Soluția ecuației $4(x-3)-3(x+2)=5$ este:

1. A. $-13$
2. B. $11$
3. C. $19$
4. D. $23$

5. (5p) Un elev parcurge cu bicicleta, cu viteză constantă, drumul de $6$ km de acasă până la școală în $20$ de minute. Patru elevi au calculat viteza lui și au obținut: Ana $0{,}3$ km/h, Bogdan $30$ km/h, Carmen $18$ km/h, Dan $120$ km/h. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Un elev are în fiecare săptămână următorul număr de ore de curs: luni $6$ ore, marți $7$ ore, miercuri $6$ ore, joi $5$ ore și vineri $7$ ore. Afirmația „Media aritmetică a numărului de ore de curs pe zi, de luni până vineri, este egală cu $6$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctul $O$ este mijlocul segmentului $AB$, cu $AB=20$ cm. Punctele $C$ și $D$ aparțin segmentului $AB$, sunt simetrice față de punctul $O$, iar $CD=8$ cm. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $10$ cm
4. D. $12$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în punctul $O$, iar măsura unghiului $AOC$ este egală cu $64^\circ$. Semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $AOC$. Măsura unghiului $EOB$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $148^\circ$

3. (5p) Un triunghi are două laturi de $5$ cm și $11$ cm, iar a treia latură are lungimea, exprimată în centimetri, un număr natural. Numărul valorilor posibile ale lungimii celei de-a treia laturi este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $5$
3. C. $9$
4. D. $10$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=10$ cm și $AD=8$ cm. Distanța de la punctul $D$ la dreapta $AB$ este $DE=6$ cm. Distanța de la punctul $B$ la dreapta $AD$ este egală cu:

1. A. $3{,}75$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $7{,}5$ cm
4. D. $15$ cm

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=55$ cm și $AC=48$ cm, înscris în cercul de centru $O$. Lungimea cercului este egală cu:

1. A. $36{,}5\pi$ cm
2. B. $73\pi$ cm
3. C. $146\pi$ cm
4. D. $1332{,}25\pi$ cm$^2$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=6\sqrt{3}$ cm. Măsura unghiului dintre planele $(A'BC)$ și $(ABC)$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $45^\circ$
3. C. $60^\circ$
4. D. $90^\circ$

1. (5p) Elevii unei clase intră într-o sală cu bănci. Dacă se așază câte $2$ elevi în fiecare bancă, $3$ elevi rămân fără loc. Dacă se așază câte $3$ elevi în fiecare bancă, rămân $2$ bănci libere, iar celelalte sunt ocupate complet. a) ($2$p) Este posibil ca în sală să fie $8$ bănci? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul elevilor clasei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-3x-18}{x^2-9}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $x^2-3x-18=(x-6)(x+3)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$. a) ($2$p) Arată că $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(10)=90$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Arată că dreapta $BD$, unde $D(-4,0)$, este perpendiculară pe dreapta $AB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$. Punctul $E$ aparține diagonalei $BD$, astfel încât $AE\perp BD$, $BE=25$ cm și $DE=36$ cm. a) ($2$p) Arată că $AE=30$ cm. b) ($3$p) Determină perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este diametru al cercului de centru $O$, cu $AB=6$ cm. Punctul $D$ aparține tangentei la cerc în punctul $B$, astfel încât $BD=6$ cm, iar dreapta $AD$ intersectează a doua oară cercul în punctul $C$. a) ($2$p) Arată că $AD=6\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Demonstrează că punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=12$ cm și muchia laterală $VA=19$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar punctul $M$ este mijlocul muchiei $VC$. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $816$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $MBD$.