Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $45-5\cdot(12-4):2$ este egal cu:

1. A. $2{,}5$
2. B. $5$
3. C. $25$
4. D. $160$

2. (5p) Ana primește în fiecare săptămână $40$ de lei bani de buzunar și pune deoparte $15\%$ din această sumă. Suma pusă deoparte de Ana în $4$ săptămâni este egală cu:

1. A. $6$ lei
2. B. $24$ de lei
3. C. $60$ de lei
4. D. $136$ de lei

3. (5p) Cel mai mare număr natural de două cifre care, împărțit la $7$, dă restul $3$ este:

1. A. $87$
2. B. $94$
3. C. $98$
4. D. $101$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2+3x-5=0$ este:

1. A. $\left\{-\frac{5}{2},1\right\}$
2. B. $\left\{-1,\frac{5}{2}\right\}$
3. C. $\{-5,2\}$
4. D. $\{-10,4\}$

5. (5p) Maria depune la bancă $2000$ de lei, cu o dobândă de $5\%$ pe an. La sfârșitul fiecărui an, dobânda se adaugă la suma din cont. Patru elevi au calculat suma din contul Mariei după $2$ ani și au obținut: Ioana $2100$ de lei, Mihai $2200$ de lei, Paul $2205$ lei, Rareș $205$ lei. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ioana
2. B. Mihai
3. C. Paul
4. D. Rareș

6. (5p) Vlad notează în fiecare lună cât a economisit: ianuarie: $30$ de lei, februarie: $20$ de lei, martie: $50$ de lei. Afirmația „În martie, Vlad a economisit cu $150\%$ mai mult decât în februarie.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Segmentul $AB$ este cu $4$ cm mai lung decât segmentul $BC$, segmentul $CD$ este de două ori mai lung decât segmentul $AB$, iar $AD=52$ cm. Lungimea segmentului $BD$ este egală cu:

1. A. $10$ cm
2. B. $14$ cm
3. C. $28$ cm
4. D. $38$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, punctele $A$ și $D$ aparțin dreptei $a$, iar punctele $B$ și $C$ aparțin dreptei $b$. Măsura unghiului $DAB$ este egală cu $68^\circ$, iar semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $DAB$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $34^\circ$
2. B. $68^\circ$
3. C. $112^\circ$
4. D. $146^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=16$ cm. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, iar $AM=32{,}5$ cm. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $144$ cm$^2$
2. B. $260$ cm$^2$
3. C. $504$ cm$^2$
4. D. $1008$ cm$^2$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat patrulaterul convex $ABCD$, ale cărui diagonale sunt perpendiculare și se intersectează în punctul $O$. Se știe că $AC=16$ cm și $BD=9$ cm. Aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $25$ cm$^2$
2. B. $36$ cm$^2$
3. C. $72$ cm$^2$
4. D. $144$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, coarda $AB$ a cercului de centru $O$ are lungimea de $40$ cm, iar distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este $OM=21$ cm. Aria discului de centru $O$ este egală cu:

1. A. $58\pi$ cm$^2$
2. B. $400\pi$ cm$^2$
3. C. $441\pi$ cm$^2$
4. D. $841\pi$ cm$^2$

6. (5p) O minge în formă de sferă, cu centrul $O$, este așezată într-o cutie în formă de cub $ABCDA'B'C'D'$, cu muchia de $18$ cm, și atinge toate fețele cutiei, ca în figura alăturată. Aria sferei este egală cu:

1. A. $81\pi$ cm$^2$
2. B. $324\pi$ cm$^2$
3. C. $972\pi$ cm$^2$
4. D. $1296\pi$ cm$^2$

1. (5p) Părinții a doi frați, unul de $12$ ani și celălalt de $15$ ani, împart în fiecare lună o sumă de bani de buzunar între cei doi frați, în părți direct proporționale cu vârstele lor. Fratele mai mare primește cu $30$ de lei mai mult decât fratele mai mic. a) ($2$p) Este posibil ca fratele mai mic să primească $100$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină suma de bani pe care o împart părinții în fiecare lună.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+2}{x-4}-\frac{x-2}{x+4}\right)\cdot\frac{x^2-16}{12}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+2}{x-4}-\frac{x-2}{x+4}=\frac{12x}{x^2-16}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$, $a\neq -4$ și $a\neq 4$, pentru care $E(a)=a^2-20$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$. a) ($2$p) Arată că $f(1)+f(3)=0$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Punctul $C$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $A$. Determină aria triunghiului $OBC$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=30$ m, $CD=23$ m și $AD=24$ m. a) ($2$p) Terenul se acoperă cu gazon, care costă $5$ lei pe metru pătrat. Arată că gazonul pentru tot terenul costă $3180$ de lei. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$.

5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$, segmentul $AC$ este diametru al cercului, $AC=50$ cm, $AD=14$ cm și $AB=BC$. a) ($2$p) Arată că $CD=48$ cm. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $961$ cm$^2$.

6. (5p) Acoperișul unui foișor are forma suprafeței laterale a unui con circular drept cu vârful $V$, ca în figura alăturată. Centrul bazei conului este $O$, raza bazei este $OA=3{,}5$ m, iar înălțimea conului este $VO=1{,}2$ m. a) ($2$p) Arată că generatoarea conului are lungimea de $3{,}7$ m. b) ($3$p) Țigla pentru acoperiș costă $50$ de lei pe metru pătrat. Arată că $2050$ de lei sunt suficienți pentru țigla necesară întregului acoperiș. Se consideră $\pi<3{,}15$.