Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2{,}5\cdot 4-1{,}2:0{,}4$ este egal cu:

1. A. $7$
2. B. $9{,}7$
3. C. $17{,}5$
4. D. $22$

2. (5p) Într-o rezervație naturală trăiau $250$ de capre negre. Într-un an, numărul lor a crescut cu $12\%$. După creștere, numărul caprelor negre din rezervație este egal cu:

1. A. $30$
2. B. $220$
3. C. $262$
4. D. $280$

3. (5p) Numărul $a=|\sqrt{5}-3|-|\sqrt{5}-2|$ este egal cu:

1. A. $-1$
2. B. $2\sqrt{5}-5$
3. C. $5-2\sqrt{5}$
4. D. $1$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2=7x$ este:

1. A. $\{7\}$
2. B. $\{0,7\}$
3. C. $\{-7,7\}$
4. D. $\{-7,0\}$

5. (5p) Un biciclist urcă un deal pe un drum de $12$ km cu viteza de $12$ km/h, apoi coboară pe același drum cu viteza de $24$ km/h. Patru elevi au calculat viteza medie a biciclistului pe tot drumul, dus și întors, și au obținut: Andrei $16$ km/h, Bianca $18$ km/h, Cosmin $36$ km/h, Daria $24$ km/h. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Andrei
2. B. Bianca
3. C. Cosmin
4. D. Daria

6. (5p) Afirmația „Numărul $-2$ este soluție a inecuației $2x+7>3x+9$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$. Știind că $MN=13$ cm și că segmentul $AB$ este cu $6$ cm mai lung decât segmentul $BC$, lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

1. A. $10$ cm
2. B. $13$ cm
3. C. $16$ cm
4. D. $26$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar dreapta $EF$ le intersectează în punctele $M$, respectiv $N$. Măsura unghiului $AMN$ este $(3x-10)^\circ$, iar măsura unghiului $MND$ este $(x+30)^\circ$. Măsura unghiului $AMN$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $50^\circ$
3. C. $110^\circ$
4. D. $130^\circ$

3. (5p) În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ sunt stațiile unei telecabine, iar cablul $AB$ este întins în linie dreaptă. Punctul $C$ se află la nivelul stației $A$, pe verticala stației $B$, astfel încât $BC\perp AC$ și $BC=130$ m. Pe o hartă la scara $1:20\,000$, segmentul $AC$ are lungimea de $4{,}2$ cm. Sinusul unghiului $BAC$ este egal cu:

1. A. $\frac{13}{85}$
2. B. $\frac{13}{84}$
3. C. $\frac{84}{85}$
4. D. $\frac{85}{13}$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=40$ m, $CD=22$ m și $AD=BC=41$ m. Punctul $E$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe $AB$. Aria terenului este egală cu:

1. A. $1240$ m$^2$
2. B. $1271$ m$^2$
3. C. $1600$ m$^2$
4. D. $2480$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$, iar dreapta $AT$ este tangentă la cerc în punctul $A$. Măsura unghiului $TAB$ este de $70^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $70^\circ$
3. C. $110^\circ$
4. D. $140^\circ$

6. (5p) O grămadă de nisip are forma conului circular drept din figura alăturată, cu vârful $V$, centrul bazei $O$, raza bazei $OA=7$ dm și generatoarea $VA=25$ dm. Volumul grămezii de nisip este egal cu:

1. A. $175\pi$ dm$^3$
2. B. $392\pi$ dm$^3$
3. C. $\frac{1225\pi}{3}$ dm$^3$
4. D. $1176\pi$ dm$^3$

1. (5p) Un pădurar a plantat în total $160$ de stejari și brazi. Dacă ar fi plantat cu $20$ de stejari mai mult, numărul stejarilor ar fi fost de două ori mai mare decât numărul brazilor. a) ($2$p) Este posibil ca pădurarul să fi plantat $50$ de brazi? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul stejarilor plantați de pădurar.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x-1)^2-(x+2)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x-3)(3x+1)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $x$ pentru care $E(x)=3x+1$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2}x+3$. a) ($2$p) Determină coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele de coordonate. b) ($3$p) Determină punctele de pe graficul funcției $f$ situate la distanța $3$ de originea $O$ a sistemului de axe.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=20$ cm, $BD=21$ cm și $BD\perp AD$. Punctul $E$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AB$. a) ($2$p) Arată că aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu $420$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $BE$.

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, segmentul $AB$ este diametru al cercului, $AC=28$ cm și $BC=45$ cm. Punctul $M$ este piciorul perpendicularei din $O$ pe $AC$. a) ($2$p) Arată că $AB=53$ cm. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AC$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și muchia laterală $VA=2\sqrt{21}$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $72\sqrt{3}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină sinusul unghiului dintre dreapta $VA$ și planul $(ABC)$.