Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 21
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $(-3)^3+4\cdot(-5)-(-7)$ este egal cu:
2. (5p) Raportul dintre înălțimile a doi brazi este $\frac{3}{5}$, iar bradul mai înalt are cu $6$ m mai mult decât celălalt. Înălțimea bradului mai înalt este egală cu:
3. (5p) Într-o pădure, un sfert dintre arbori sunt stejari, $\frac{2}{5}$ din arborii rămași sunt fagi, iar restul arborilor sunt brazi. Fracția din numărul arborilor pădurii care reprezintă brazii este egală cu:
4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-6x-7=0$ este:
5. (5p) Un pădurar a marcat $20$ de arbori: $8$ stejari, $5$ fagi și $7$ brazi. Se alege la întâmplare unul dintre arborii marcați. Patru elevi au calculat probabilitatea ca arborele ales să nu fie fag și au obținut: Ana $\frac{1}{4}$, Bogdan $3$, Carmen $\frac{2}{3}$, Dana $\frac{3}{4}$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Afirmația „Numărul $2^{10}+2^{11}+2^{12}$ este divizibil cu $3$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=CD$, $AD=26$ cm și $BC=8$ cm. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, unghiul $AOB$ este drept, iar semidreapta $OC$ este în interiorul lui. Măsura unghiului $AOC$ este cu $40^\circ$ mai mare decât măsura unghiului $COB$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, iar punctul $D$ se află pe semidreapta $BC$, după $C$. Măsura unghiului $ACD$ este de $140^\circ$, iar măsura unghiului $BAC$ este de patru ori mai mare decât măsura unghiului $ABC$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=15$ cm și $BC=10$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt picioarele perpendicularelor din $D$ pe dreptele $AB$, respectiv $BC$, iar $DE=8$ cm. Lungimea segmentului $DF$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=12$ cm, și cercul de centru $O$ înscris în triunghi. Aria discului mărginit de acest cerc este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=4$ cm și $A'B=4\sqrt{5}$ cm. Volumul prismei este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Două cabane sunt legate de o potecă lungă de $21$ km. Doi turiști pornesc în același timp, câte unul de la fiecare cabană, unul spre celălalt, pe aceeași potecă. Primul merge cu $4$ km pe oră, iar al doilea cu $3$ km pe oră. a) ($2$p) Este posibil ca turiștii să se întâlnească după $2$ ore de mers? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină la ce distanță de cabana din care a plecat primul turist se întâlnesc cei doi.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x-2)^2-1$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x-1)(x-3)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr prim.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Punctele $A(2,1)$ și $B(-1,7)$ aparțin graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $a=-2$ și $b=5$. b) ($3$p) Demonstrează că triunghiul $OAB$ este dreptunghic, unde $O$ este originea sistemului de axe.
4. (5p) Un parc are forma rombului $ABCD$ din figura alăturată, cu diagonalele $AC=40$ m și $BD=30$ m, care se intersectează în punctul $O$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar aleea $AM$ intersectează diagonala $BD$ în punctul $G$. a) ($2$p) Arată că $AB=25$ m. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $ABG$.
5. (5p) Un lac are forma unui disc cu centrul $O$ și raza de $11$ m. Un turist stă în punctul $P$, la $61$ m de punctul $O$, iar dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente la malul lacului în punctele $A$ și $B$, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că $PA=60$ m. b) ($3$p) Determină aria patrulaterului $PAOB$.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și muchia laterală $VA=6\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $72\sqrt{2}$ cm$^3$. b) ($3$p) Demonstrează că planele $(VAB)$ și $(VAC)$ sunt perpendiculare.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.