Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $100-4\cdot(15-6):3$ este egal cu:

1. A. $38$
2. B. $64$
3. C. $88$
4. D. $288$

2. (5p) Un fișier de $840$ MB se descarcă pe un telefon. După câteva minute, s-au descărcat $35\%$ din fișier. Numărul de megaocteți (MB) care mai trebuie descărcați este egal cu:

1. A. $65$
2. B. $294$
3. C. $546$
4. D. $805$

3. (5p) Rezultatul calculului $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}-\sqrt{50}:\sqrt{2}$ este egal cu:

1. A. $-16$
2. B. $4$
3. C. $2\sqrt{14}$
4. D. $14$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2-7x+3=0$ este:

1. A. $\left\{\frac{1}{2},3\right\}$
2. B. $\{1,6\}$
3. C. $\left\{-3,-\frac{1}{2}\right\}$
4. D. $\left\{\frac{7-\sqrt{73}}{4},\frac{7+\sqrt{73}}{4}\right\}$

5. (5p) Pe telefonul Irinei, aplicațiile ocupă $\frac{3}{4}$ din memorie, iar fotografiile ocupă $\frac{1}{6}$ din memorie; restul memoriei este liber. Patru elevi au calculat ce fracție din memorie este liberă. Rezultatele obținute sunt: Bogdan $\frac{3}{5}$, Carmen $\frac{11}{12}$, Dan $\frac{5}{12}$, Ana $\frac{1}{12}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Bogdan
2. B. Carmen
3. C. Dan
4. D. Ana

6. (5p) Afirmația „Media geometrică a numerelor $18$ și $32$ este egală cu $25$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, pe axa numerelor sunt reprezentate punctele $A$ și $B$, de coordonate $-7$, respectiv $11$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Coordonata punctului $M$ este egală cu:

1. A. $2$
2. B. $4$
3. C. $9$
4. D. $18$

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, în care măsurile unghiurilor $A$, $B$ și $C$ sunt direct proporționale cu numerele $3$, $5$ și $7$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

1. A. $36^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $72^\circ$
4. D. $84^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC=41$ cm și $BC=18$ cm. Punctul $D$ este mijlocul laturii $BC$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $32$ cm
2. B. $\sqrt{1357}$ cm
3. C. $40$ cm
4. D. $\sqrt{1762}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=20$ cm, $CD=13$ cm și măsura unghiului $ABC$ egală cu $45^\circ$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $91$ cm$^2$
2. B. $115{,}5$ cm$^2$
3. C. $140$ cm$^2$
4. D. $231$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este înscris în cercul de centru $O$, iar măsurile unghiurilor $BAC$ și $ABC$ sunt egale cu $50^\circ$, respectiv $60^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $70^\circ$
2. B. $100^\circ$
3. C. $120^\circ$
4. D. $140^\circ$

6. (5p) O piesă realizată cu o imprimantă 3D are forma corpului din figura alăturată, format dintr-un cilindru circular drept și un con circular drept așezat pe baza de sus a cilindrului. Cilindrul și conul au aceeași rază a bazei, de $3$ cm, cilindrul are înălțimea $OO'=10$ cm, iar conul are înălțimea $O'V=4$ cm. Volumul piesei este egal cu:

1. A. $42\pi$ cm$^3$
2. B. $90\pi$ cm$^3$
3. C. $102\pi$ cm$^3$
4. D. $126\pi$ cm$^3$

1. (5p) O baterie externă, complet încărcată, a fost folosită pentru a încărca complet un telefon de două ori. La fiecare încărcare, telefonul a preluat din baterie $3000$ mAh, iar după cele două încărcări în baterie au rămas $40\%$ din capacitatea ei. a) ($2$p) Este posibil ca bateria externă să aibă capacitatea de $9000$ mAh? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină capacitatea bateriei externe.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x+1}{x}-\frac{x+2}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$ și $x\neq 0$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{1}{x(x+1)}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 0$. b) ($3$p) Arată că $E(1)+E(2)+E(3)+\ldots+E(20)<1$.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-\frac{1}{2}x+5$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(4,3)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Oy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Arată că triunghiul $PAB$ este dreptunghic.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=26$ cm și $BC=12$ cm. Punctul $M$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AM=8$ cm. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $DMC$ este egală cu $156$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $DM$ și $MC$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului de centru $O$, în această ordine, iar arcele mici $AB$, $BC$ și $CD$ au măsurile de $70^\circ$, $100^\circ$, respectiv $110^\circ$. Diagonalele $AC$ și $BD$ ale patrulaterului $ABCD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că măsura unghiului $ADC$ este egală cu $85^\circ$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu bazele pătratele $ABCD$ și $A'B'C'D'$, $AB=12$ cm, $A'B'=4$ cm și înălțimea de $9$ cm. a) ($2$p) Arată că volumul trunchiului de piramidă este egal cu $624$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A'$ la dreapta $BC$.