Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{16}+\frac{1}{4}:\frac{1}{2}$ este egal cu:

1. A. $\frac{7}{8}$
2. B. $\frac{5}{4}$
3. C. $\frac{19}{10}$
4. D. $2$

2. (5p) Un telefon se încarcă în același ritm tot timpul. Nivelul bateriei lui crește de la $20\%$ la $80\%$ în $45$ de minute. Numărul de minute în care nivelul bateriei crește de la $20\%$ la $100\%$ este egal cu:

1. A. $15$
2. B. $36$
3. C. $60$
4. D. $75$

3. (5p) Cel mai mic număr natural nenul care este divizibil cu $6$, cu $8$ și cu $10$ este:

1. A. $2$
2. B. $24$
3. C. $120$
4. D. $480$

4. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-1,5)$ și $B(3,-2)$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

1. A. $\sqrt{13}$
2. B. $\sqrt{33}$
3. C. $\sqrt{65}$
4. D. $11$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\sqrt{5}$, Bogdan $9$, Carmen $5-2\sqrt{14}$, Dan $5$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Un magazin online a vândut într-o săptămână: $45$ de telefoane, $30$ de tablete, $15$ laptopuri și $60$ de ceasuri inteligente. Afirmația „Telefoanele reprezintă $30\%$ din produsele vândute în acea săptămână.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ are lungimea de $24$ cm. Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $D$ este mijlocul segmentului $CB$, iar punctul $E$ este mijlocul segmentului $AD$. Lungimea segmentului $CE$ este egală cu:

1. A. $3$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $9$ cm
4. D. $12$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, punctul $M$ aparține dreptei $AB$, iar punctele $N$ și $P$ aparțin dreptei $CD$. Măsura unghiului $BMN$ este egală cu $116^\circ$, iar semidreapta $MP$ este bisectoarea unghiului $BMN$. Măsura unghiului $MPN$ este egală cu:

1. A. $58^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $122^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=12$ cm și $\operatorname{tg}(\sphericalangle ABC)=3$. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $4\sqrt{10}$ cm
3. C. $16$ cm
4. D. $12\sqrt{10}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, în care $\frac{AB}{BC}=\frac{21}{20}$ și diagonala $AC=58$ cm. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $1680$ cm$^2$
2. B. $2320$ cm$^2$
3. C. $2436$ cm$^2$
4. D. $3364$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este diametru al cercului de centru $O$, iar dreapta $BP$ este tangentă la cerc în punctul $B$. Dreapta $AP$ intersectează a doua oară cercul în punctul $C$, iar măsura unghiului $BAC$ este egală cu $35^\circ$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $35^\circ$
3. C. $55^\circ$
4. D. $70^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=9$ cm și $A'B'=5$ cm. Punctele $M$ și $M'$ sunt mijloacele muchiilor $BC$, respectiv $B'C'$, iar apotema trunchiului este $MM'=6$ cm. Aria laterală a trunchiului de piramidă este egală cu:

1. A. $42$ cm$^2$
2. B. $168$ cm$^2$
3. C. $274$ cm$^2$
4. D. $336$ cm$^2$

1. (5p) O imprimantă poate tipări un document în două moduri: în modul obișnuit tipărește $18$ pagini pe minut, iar în modul rapid tipărește $24$ de pagini pe minut. În modul obișnuit, tipărirea documentului durează cu $2$ minute mai mult decât în modul rapid. a) ($2$p) Este posibil ca documentul să aibă $180$ de pagini? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul de pagini ale documentului.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=2(x-1)^2-(x-3)(x+1)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x-1)^2+4$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$ pentru care $E(a)=4a$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=-\frac{1}{2}x+4$. a) ($2$p) Arată că graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A(8,0)$ și axa $Oy$ în punctul $B(0,4)$. b) ($3$p) Determină coordonatele punctului $C$ de pe graficul funcției $f$ pentru care $CO=CA$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=16$ cm și $AC=12$ cm. Punctele $D$ și $E$ aparțin laturilor $AB$, respectiv $AC$, astfel încât $AD=6$ cm și $AE=8$ cm. a) ($2$p) Arată că triunghiurile $ADE$ și $ACB$ sunt asemenea. b) ($3$p) Demonstrează că patrulaterul $BDEC$ este inscriptibil.

5. (5p) Cadranul unui ceas inteligent este un cerc de centru $O$ și rază $2$ cm, împărțit de cele $12$ ore în $12$ arce congruente. În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ ale cadranului corespund orelor $12$, $4$, respectiv $9$. a) ($2$p) Arată că măsura unghiului $ABC$ este egală cu $45^\circ$. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $\left(3+\sqrt{3}\right)$ cm$^2$.

6. (5p) Dintr-un bloc de lemn în forma prismei patrulatere regulate $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=8$ cm și $AA'=6$ cm, se scoate piramida $VABCD$, unde $V$ este centrul feței $A'B'C'D'$, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că volumul lemnului rămas este egal cu $256$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(VBC)$.