Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2^3\cdot 5-(48-6\cdot 7)^2$ este egal cu:

1. A. $-6$
2. B. $4$
3. C. $28$
4. D. $34$

2. (5p) O excursie de trei zile costă $380$ de lei pentru fiecare elev. Părinții unui elev au plătit un avans de $40\%$ din preț. Suma care a mai rămas de plătit pentru acest elev este egală cu:

1. A. $152$ de lei
2. B. $228$ de lei
3. C. $340$ de lei
4. D. $532$ de lei

3. (5p) Cel mai mare număr natural de forma $\overline{3a5b}$, divizibil cu $15$, este:

1. A. $3150$
2. B. $3750$
3. C. $3855$
4. D. $3955$

4. (5p) Soluția ecuației $\frac{x-1}{3}=\frac{x+5}{5}$ este:

1. A. $-14$
2. B. $3$
3. C. $5$
4. D. $10$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}+\sqrt{128}:\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $14$, Bogdan $8+3\sqrt{2}$, Carmen $8+\sqrt{15}$, Dan $70$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Un muzeu este deschis zilnic de la ora $9{:}30$ până la ora $17{:}15$. O vizită ghidată durează $45$ de minute, iar vizitele ghidate se desfășoară una după alta, fără pauză, cât timp muzeul este deschis. Afirmația „Într-o zi se pot desfășura $11$ vizite ghidate complete.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, iar $AB=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $MN=13$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $3$ cm
2. B. $8$ cm
3. C. $13$ cm
4. D. $16$ cm

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Punctul $D$ se află pe semidreapta $BC$, după punctul $C$, iar măsura unghiului $ACD$ este egală cu $128^\circ$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

1. A. $24^\circ$
2. B. $52^\circ$
3. C. $64^\circ$
4. D. $76^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC=9$ cm și $BC=14$ cm. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $14\sqrt{2}$ cm$^2$
2. B. $28\sqrt{2}$ cm$^2$
3. C. $63$ cm$^2$
4. D. $56\sqrt{2}$ cm$^2$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=15$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $120^\circ$. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$
2. B. $112{,}5$ cm$^2$
3. C. $75\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $225\sqrt{3}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $APB$ este egală cu $64^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $128^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=10$ cm, $BC=6$ cm și $AA'=15$ cm. Lungimea diagonalei $AC'$ este egală cu:

1. A. $2\sqrt{34}$ cm
2. B. $19$ cm
3. C. $15+2\sqrt{34}$ cm
4. D. $31$ cm

1. (5p) Elevii unei școli pleacă într-o excursie cu mai multe microbuze. Dacă în fiecare microbuz urcă $16$ elevi, rămân $6$ elevi fără loc. Dacă în fiecare microbuz urcă $18$ elevi, toate microbuzele sunt complet ocupate, cu excepția unuia, care rămâne gol. a) ($2$p) Este posibil ca elevii să plece în excursie cu $10$ microbuze? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul elevilor care pleacă în excursie.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+8x+16}{x^2-16}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x-4}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$, $n\neq 4$, pentru care $E(n)$ este număr natural.

3. (5p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-4,1)$, $B(6,1)$ și $C(1,5)$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel. b) ($3$p) Punctul $D(1,-3)$ este simetricul punctului $C$ față de dreapta $AB$. Arată că patrulaterul $ACBD$ este romb și calculează aria acestuia.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=18$ cm și $BC=8$ cm. Punctul $E$ este mijlocul laturii $CD$, iar dreptele $AE$ și $BD$ se intersectează în punctul $F$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $ABE$ este egală cu $72$ cm$^2$. b) ($3$p) Arată că $DF=\frac{1}{3}\cdot DB$ și calculează aria triunghiului $DEF$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, înscris în cercul de centru $O$ și rază $25$ cm. Latura $BC$ are lungimea de $14$ cm, iar punctul $O$ se află în interiorul triunghiului $ABC$. Punctul $D$ este mijlocul laturii $BC$. a) ($2$p) Arată că distanța de la punctul $O$ la dreapta $BC$ este egală cu $24$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea laturii $AB$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară $VABC$, în care muchiile $VA$, $VB$ și $VC$ au fiecare lungimea de $8$ cm și sunt perpendiculare două câte două. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ABC$ este echilateral. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $AM$ și planul $(VBC)$.