Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3{,}6:0{,}9+1{,}5\cdot 2$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $3{,}4$
3. C. $7$
4. D. $11$

2. (5p) Numărul locuitorilor unui oraș a crescut în zece ani de la $60\,000$ la $75\,000$. Numărul locuitorilor a crescut cu:

1. A. $15\%$
2. B. $20\%$
3. C. $25\%$
4. D. $125\%$

3. (5p) Rezultatul calculului $(-2)^3+(-3)^2-2^4:2^2$ este egal cu:

1. A. $-21$
2. B. $-6$
3. C. $-3$
4. D. $13$

4. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |x+2|\le 4\}$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $7$
3. C. $8$
4. D. $9$

5. (5p) Patru elevi, Elena, Radu, Sofia și Tudor, au calculat media geometrică a numerelor $5$ și $45$. Rezultatele obținute sunt: Elena $15$, Radu $25$, Sofia $5\sqrt{2}$, Tudor $112{,}5$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Elena
2. B. Radu
3. C. Sofia
4. D. Tudor

6. (5p) O linie de autobuz are $25$ de stații, dintre care $10$ au copertină. Se alege la întâmplare una dintre stațiile liniei. Afirmația „Probabilitatea ca stația aleasă să aibă copertină este egală cu $\frac{2}{3}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ marchează trei stâlpi de iluminat de pe o stradă dreaptă, în această ordine. Distanța dintre stâlpii $A$ și $C$ este $AC=48$ m, iar $\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$. Distanța $AB$ este egală cu:

1. A. $18$ m
2. B. $24$ m
3. C. $28{,}8$ m
4. D. $30$ m

2. (5p) În figura alăturată, patru străzi pornesc dintr-o piață $O$, de-a lungul semidreptelor $OA$, $OB$, $OC$ și $OD$. Unghiurile formate în jurul punctului $O$ au măsurile $m(\sphericalangle AOB)=x$, $m(\sphericalangle BOC)=x+20^\circ$, $m(\sphericalangle COD)=2x$ și $m(\sphericalangle DOA)=2x+40^\circ$. Măsura unghiului $DOA$ este egală cu:

1. A. $50^\circ$
2. B. $80^\circ$
3. C. $100^\circ$
4. D. $140^\circ$

3. (5p) În figura alăturată, scara $AB$, lungă de $8$ m, este sprijinită de peretele vertical $BC$ al unei clădiri, cu capătul $A$ pe sol, iar $AC\perp BC$. Scara formează cu solul unghiul $BAC$, cu măsura de $60^\circ$. Înălțimea $BC$ la care ajunge scara este egală cu:

1. A. $4$ m
2. B. $4\sqrt{3}$ m
3. C. $8\sqrt{3}$ m
4. D. $16$ m

4. (5p) Un teren are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=34$ m, $CD=20$ m și $AD=BC=25$ m. Aria terenului este egală cu:

1. A. $648$ m$^2$
2. B. $675$ m$^2$
3. C. $816$ m$^2$
4. D. $1296$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, un rond de flori are forma cercului de centru $O$, iar aleile $PA$ și $PB$ sunt tangente la cerc în punctele $A$, respectiv $B$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $104^\circ$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

1. A. $38^\circ$
2. B. $52^\circ$
3. C. $76^\circ$
4. D. $104^\circ$

6. (5p) Un chioșc din parc are forma corpului din figura alăturată: pereții formează un cilindru circular drept, iar acoperișul este un con circular drept cu vârful $V$, așezat pe baza de sus a cilindrului. Raza bazei conului este $O'A=2{,}5$ m, iar generatoarea lui este $VA=4$ m. Aria laterală a acoperișului este egală cu:

1. A. $6{,}25\pi$ m$^2$
2. B. $10\pi$ m$^2$
3. C. $16{,}25\pi$ m$^2$
4. D. $20\pi$ m$^2$

1. (5p) Prețul unei curse cu taxiul într-un oraș este format dintr-o taxă de pornire și un preț pentru fiecare kilometru parcurs, aceleași pentru orice cursă. O cursă de $6$ km costă $25$ de lei, iar o cursă de $10$ km costă $37$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca prețul unui kilometru să fie $2$ lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină taxa de pornire.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+4}{x-4}-\frac{x-4}{x+4}\right)\cdot\frac{x^2-16}{8x}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -4$, $x\neq 0$ și $x\neq 4$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+4}{x-4}-\frac{x-4}{x+4}=\frac{16x}{x^2-16}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$ pentru care $E(a)=a^2-7a+14$.

3. (5p) Pe harta unui cartier, desenată într-un sistem de axe ortogonale $xOy$, două străzi drepte sunt reprezentate de graficele funcțiilor $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+3$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-x+7$, iar axa $Ox$ reprezintă malul unui râu. a) ($2$p) Arată că punctul $A(2,5)$ aparține graficelor ambelor funcții. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctele $P$, respectiv $Q$. Arată că aria triunghiului $APQ$ este egală cu $25$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentată o piață în formă de pătrat $ABCD$, cu latura de $20$ m. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $CD$, iar aleile $AM$ și $BN$ se intersectează în punctul $Q$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $AMN$ este egală cu $150$ m$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că aleile $AM$ și $BN$ sunt perpendiculare.

5. (5p) Un sens giratoriu are forma din figura alăturată: în mijloc se află o insulă cu iarbă, în formă de disc de centru $O$ și rază $OB=12$ m, iar mașinile circulă pe porțiunea dintre cercul insulei și cercul de centru $O$ și rază $OA=20$ m. a) ($2$p) Arată că lungimea cercului care mărginește insula este egală cu $24\pi$ m. b) ($3$p) Arată că aria porțiunii pe care circulă mașinile este mai mare de $800$ m$^2$.

6. (5p) O casă are forma corpului din figura alăturată, format din paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=12$ m și $AA'=7$ m, și acoperișul în forma piramidei patrulatere regulate $VA'B'C'D'$, cu înălțimea $VO=2\sqrt{3}$ m, unde $O$ este centrul pătratului $A'B'C'D'$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $B'C'$. a) ($2$p) Arată că aria suprafeței acoperișului (aria laterală a piramidei) este egală cu $96\sqrt{3}$ m$^2$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(VB'C')$ și planul $(A'B'C')$.