Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}:\frac{2}{3}$ este egal cu:

1. A. $\frac{1}{3}$
2. B. $\frac{11}{18}$
3. C. $\frac{3}{4}$
4. D. $2$

2. (5p) O bibliotecă are $4200$ de cărți. Raportul dintre numărul cărților de literatură și numărul celorlalte cărți din bibliotecă este $\frac{5}{3}$. Numărul cărților de literatură este egal cu:

1. A. $1575$
2. B. $2520$
3. C. $2625$
4. D. $7000$

3. (5p) La o bibliotecă au sosit $96$ de romane și $160$ de albume. Bibliotecara face pachete identice, fiecare cu același număr de romane și același număr de albume, folosind toate cărțile. Numărul maxim de pachete pe care le poate face este egal cu:

1. A. $8$
2. B. $16$
3. C. $32$
4. D. $480$

4. (5p) Numărul soluțiilor naturale ale inecuației $3(x-2)\le x+5$ este egal cu:

1. A. $5$
2. B. $6$
3. C. $7$
4. D. $12$

5. (5p) O carte costa $50$ de lei. Prețul ei a crescut cu $20\%$, apoi noul preț a scăzut cu $20\%$. Patru elevi au calculat prețul final al cărții: Ana $50$ de lei, Bogdan $48$ de lei, Carmen $56$ de lei, Dan $40$ de lei. Prețul final corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Pe un raft al bibliotecii sunt $8$ cărți de aventuri, $5$ cărți de poezie și $7$ enciclopedii. Se alege la întâmplare o carte de pe raft. Afirmația „Probabilitatea ca acea carte să fie o carte de poezie este egală cu $\frac{1}{3}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=14$ cm și $AC=36$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $7$ cm
2. B. $11$ cm
3. C. $18$ cm
4. D. $29$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ le intersectează în punctele $A$, respectiv $B$. Punctele $P\in a$ și $Q\in b$ sunt de aceeași parte a dreptei $c$, $m(\sphericalangle PAB)=(5x-15)^\circ$ și $m(\sphericalangle ABQ)=(2x+27)^\circ$. Măsura unghiului $PAB$ este egală cu:

1. A. $24^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $75^\circ$
4. D. $105^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle BAC)=46^\circ$ și $m(\sphericalangle ABC)=76^\circ$. Înălțimile $BE$ și $CF$, cu $E\in AC$ și $F\in AB$, se intersectează în punctul $H$. Măsura unghiului $BHC$ este egală cu:

1. A. $46^\circ$
2. B. $58^\circ$
3. C. $92^\circ$
4. D. $134^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=30$ cm, $CD=12$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=60^\circ$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $189$ cm$^2$
2. B. $189\sqrt{3}$ cm$^2$
3. C. $378$ cm$^2$
4. D. $378\sqrt{3}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, are vârfurile pe cercul de centru $O$, iar $AB=12$ cm și $AC=12\sqrt{3}$ cm. Aria discului de centru $O$ este egală cu:

1. A. $24\pi$ cm$^2$
2. B. $36\pi$ cm$^2$
3. C. $144\pi$ cm$^2$
4. D. $576\pi$ cm$^2$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=24$ cm și muchia laterală $VA=37$ cm. Aria laterală a piramidei este egală cu:

1. A. $1260$ cm$^2$
2. B. $1332$ cm$^2$
3. C. $1260+144\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $2520$ cm$^2$

1. (5p) O bibliotecară așază cărțile unui lot pe rafturile unui dulap. Dacă pune câte $25$ de cărți pe fiecare raft, toate rafturile se umplu și rămân $15$ cărți neașezate. Dacă pune câte $30$ de cărți pe fiecare raft, toate cărțile se așază, două rafturi rămân goale, iar celelalte sunt pline. a) ($2$p) Este posibil ca dulapul să aibă $10$ rafturi? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul cărților din lot.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+3x}{x^2-9}-\frac{8}{x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x-8}{x-3}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale, $x\neq -3$ și $x\neq 3$, ecuația $E(x)=-x$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(m-1)x+4$, unde $m$ este un număr real. Punctul $A(2,10)$ aparține graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $m=4$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm și $CD=12$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că $\frac{OA}{OC}=\frac{3}{2}$. b) ($3$p) Știind că aria triunghiului $AOB$ este egală cu $54$ cm$^2$, arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $150$ cm$^2$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $9$ cm. Din punctul $P$, aflat la distanța $PO=18$ cm de centrul cercului, se duc tangentele $PA$ și $PB$ la cerc, cu $A$ și $B$ pe cerc. a) ($2$p) Arată că $PA=9\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Determină perimetrul triunghiului $APB$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia de $6\sqrt{3}$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, iar $O$ este centrul triunghiului $BCD$. a) ($2$p) Arată că $AO=6\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Arată că cosinusul unghiului dintre planele $(ABC)$ și $(BCD)$ este egal cu $\frac{1}{3}$.