Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $72-8\cdot 3^2:6$ este egal cu:

1. A. $0$
2. B. $60$
3. C. $64$
4. D. $96$

2. (5p) Un autoturism consumă $6$ litri de benzină la fiecare $100$ km parcurși, iar un litru de benzină costă $7$ lei. Pentru o călătorie de $250$ km, benzina consumată costă:

1. A. $15$ lei
2. B. $42$ de lei
3. C. $105$ lei
4. D. $1050$ de lei

3. (5p) Numărul $\sqrt{57}$ este cuprins între două numere naturale consecutive. Suma acestor două numere este egală cu:

1. A. $7$
2. B. $8$
3. C. $15$
4. D. $56$

4. (5p) Produsul soluțiilor reale ale ecuației $x^2-2x-35=0$ este egal cu:

1. A. $-140$
2. B. $-35$
3. C. $2$
4. D. $35$

5. (5p) Patru elevi au transformat în metri pe secundă viteza de $108$ km/h a unui ghepard. Rezultatele obținute sunt: Ana $1{,}8$ m/s, Bogdan $388{,}8$ m/s, Cristina $108\,000$ m/s, Dan $30$ m/s. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Cristina
4. D. Dan

6. (5p) Temperaturile înregistrate la ora $8$ dimineața, timp de șapte zile, au fost, în grade Celsius: $-3$, $1$, $-2$, $4$, $0$, $-1$, $2$. Afirmația „Mediana acestor temperaturi este egală cu $0$ grade Celsius.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=5$ cm, $BC=2\cdot AB$ și $CD=7$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$. Lungimea segmentului $MC$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $11$ cm
4. D. $22$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare, iar $m(\sphericalangle AOB)=2\cdot m(\sphericalangle BOC)-15^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $45^\circ$
3. C. $55^\circ$
4. D. $60^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=45^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=60^\circ$. Punctul $D$ aparține laturii $BC$, $AD\perp BC$ și $AD=6$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $2\sqrt{3}$ cm
2. B. $6$ cm
3. C. $9$ cm
4. D. $6+2\sqrt{3}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu latura $AB=41$ cm și diagonala $AC=80$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $164$ cm$^2$
2. B. $360$ cm$^2$
3. C. $720$ cm$^2$
4. D. $1440$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $APB$ este egală cu $70^\circ$. Punctul $C$ aparține arcului mare $AB$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu vârful $V$ și centrul bazei $O$. Secțiunea axială $VAB$ a conului este un triunghi echilateral cu latura de $18$ cm. Volumul conului este egal cu:

1. A. $243\sqrt{3}\pi$ cm$^3$
2. B. $486\pi$ cm$^3$
3. C. $729\sqrt{3}\pi$ cm$^3$
4. D. $972\sqrt{3}\pi$ cm$^3$

1. (5p) La un concurs sunt $25$ de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se primesc $4$ puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scade un punct. Un elev a răspuns la toate întrebările și a obținut în total $70$ de puncte. a) ($2$p) Este posibil ca elevul să fi răspuns corect la $20$ de întrebări? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul întrebărilor la care elevul a răspuns corect.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+1}{x-3}-\frac{x-1}{x+3}\right)\cdot\frac{x^2-9}{8}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $(x+1)(x+3)-(x-1)(x-3)=8x$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numărul real $a$ pentru care $E(a^2)=4E(a)-4$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, pentru care $f(2)=5$ și $f(-1)=-4$. a) ($2$p) Arată că $f(x)=3x-1$. b) ($3$p) Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la graficul funcției $f$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=18$ cm și $AD=12$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AE=8$ cm, iar dreptele $DE$ și $AC$ se intersectează în punctul $F$. a) ($2$p) Arată că aria patrulaterului $EBCD$ este egală cu $168$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $DE$ și $AC$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $6$ cm. Segmentul $AB$ este diametru al cercului, punctul $C$ aparține cercului, iar $m(\sphericalangle BAC)=30^\circ$. Punctul $D$ este mijlocul arcului mic $BC$. a) ($2$p) Arată că $BC=6$ cm. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $OBDC$ este egală cu $18$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=6$ cm, $BC=6\sqrt{3}$ cm și $AA'=8$ cm. a) ($2$p) Arată că aria secțiunii diagonale $ACC'A'$ este egală cu $96$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $B$ la planul $(ACC')$.