Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 40
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $(-2)^4-3\cdot(-5)+(-36):4$ este egal cu:
2. (5p) După o reducere cu $25\%$, o carte costă $45$ de lei. Prețul cărții înainte de reducere era egal cu:
3. (5p) Cel mai mic număr întreg care aparține intervalului $(-\sqrt{30},2]$ este:
4. (5p) Dacă $x$ este un număr real nenul pentru care $x+\frac{1}{x}=5$, atunci $x^2+\frac{1}{x^2}$ este egal cu:
5. (5p) Patru elevi au raționalizat numitorul fracției $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\sqrt{5}+1$, Bogdan $\frac{2\sqrt{5}+2}{3}$, Cristina $\sqrt{5}-1$, Dan $4\sqrt{5}+4$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) La un concurs, cei $25$ de participanți au obținut următoarele punctaje: $6$ puncte: $4$ elevi, $7$ puncte: $6$ elevi, $8$ puncte: $8$ elevi, $9$ puncte: $5$ elevi, $10$ puncte: $2$ elevi. Afirmația „Mai mult de jumătate dintre participanți au obținut cel puțin $8$ puncte.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=BD=20$ cm și $AD=32$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar dreapta $PQ$ le intersectează în punctele $M$, respectiv $N$. Unghiurile alterne externe $AMP$ și $DNQ$ au măsurile $(5x-20)^\circ$, respectiv $(3x+16)^\circ$. Măsura unghiului $AMP$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, iar punctele $D$ și $E$ aparțin laturilor $AB$, respectiv $AC$, astfel încât $DE\parallel BC$, $AD=4$ cm, $DB=12$ cm și $AE=6$ cm. Lungimea segmentului $EC$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=26$ cm, $CD=10$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $8$ cm, iar $m(\sphericalangle BAC)=45^\circ$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu centrele bazelor $O$ și $O'$, cu raza bazei de $5$ cm și volumul egal cu $150\pi$ cm$^3$. Aria laterală a cilindrului este egală cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Trei frați au împreună $108$ lei. Primul are cu $12$ lei mai mult decât al doilea, iar al treilea are jumătate din suma primului. a) ($2$p) Este posibil ca al doilea frate să aibă $30$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină suma pe care o are primul frate.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+2)^2+(x-3)(x+3)-2(x^2-1)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=4x-3$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $x$ pentru care $E(x)=x^2$.
3. (5p) Un autoturism pleacă la drum cu $48$ de litri de benzină în rezervor și consumă $7{,}5$ litri de benzină la fiecare $100$ km. Cantitatea de benzină, în litri, care a rămas în rezervor după ce autoturismul a parcurs $x$ kilometri este dată de funcția $f:[0,640]\to\mathbb{R}$, $f(x)=48-0{,}075x$. a) ($2$p) Arată că, după ce autoturismul a parcurs $200$ km, în rezervor au rămas $33$ de litri de benzină. b) ($3$p) Determină numărul de kilometri parcurși de autoturism până când în rezervor rămâne $25\%$ din cantitatea de benzină de la plecare.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm și $CD=5$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar aria triunghiului $COD$ este egală cu $6$ cm$^2$. a) ($2$p) Arată că $AO=4\cdot OC$. b) ($3$p) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $150$ cm$^2$.
5. (5p) În figura alăturată, triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=10$ cm și $AC=10\sqrt{3}$ cm, este înscris în cercul de centru $O$. Tangenta la cerc în punctul $A$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $T$. a) ($2$p) Arată că raza cercului este egală cu $10$ cm. b) ($3$p) Arată că $TA=10\sqrt{3}$ cm.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=6$ cm și $AA'=\sqrt{6}$ cm. Punctul $O$ este centrul pătratului $ABCD$. a) ($2$p) Arată că volumul prismei este egal cu $36\sqrt{6}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planele $(D'AC)$ și $(ABC)$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.