Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $84:(17-5)+6\cdot 3^2$ este egal cu:

1. A. $43$
2. B. $61$
3. C. $117$
4. D. $331$

2. (5p) La un concurs de tir, un sportiv a nimerit ținta de $42$ de ori din $56$ de trageri. Procentul tragerilor în care sportivul a nimerit ținta este egal cu:

1. A. $14\%$
2. B. $25\%$
3. C. $42\%$
4. D. $75\%$

3. (5p) Doi alergători pornesc în același moment de la linia de start a unei piste circulare și aleargă în același sens, fiecare cu viteză constantă. Primul parcurge un tur de pistă în $72$ de secunde, iar al doilea în $90$ de secunde. Cei doi trec din nou, în același moment, prin dreptul liniei de start, pentru prima dată după plecare, după un număr de secunde egal cu:

1. A. $18$
2. B. $162$
3. C. $360$
4. D. $6480$

4. (5p) Rezultatul calculului $|3\sqrt{2}-5|-|2-3\sqrt{2}|$ este egal cu:

1. A. $-3$
2. B. $7-6\sqrt{2}$
3. C. $6\sqrt{2}-7$
4. D. $3$

5. (5p) La un concurs de gimnastică, cei cinci arbitri au acordat unei sportive notele $9{,}3$; $8{,}6$; $9{,}1$; $9{,}7$ și $9{,}2$. Nota finală este media aritmetică a notelor rămase după ce se elimină cea mai mare și cea mai mică dintre cele cinci note. Patru elevi, Bogdan, Ana, Carmen și Dan, au calculat nota finală a sportivei. Rezultatele obținute sunt: Bogdan $9{,}2$, Ana $9{,}18$, Carmen $9{,}325$, Dan $9{,}15$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Bogdan
2. B. Ana
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Într-un campionat de fotbal, o echipă primește $3$ puncte pentru o victorie, $1$ punct pentru un meci egal și $0$ puncte pentru o înfrângere. O echipă a jucat $12$ meciuri: a câștigat $7$ meciuri, a terminat la egalitate $3$ meciuri și a pierdut $2$ meciuri. Afirmația „Echipa a acumulat $24$ de puncte.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Pe o pistă de alergare dreaptă sunt marcate, în această ordine, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, ca în figura alăturată, astfel încât $AD=90$ m, $AC=64$ m și $BD=50$ m. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $24$ m
2. B. $26$ m
3. C. $40$ m
4. D. $114$ m

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, $m(\sphericalangle AOB)=96^\circ$ și $m(\sphericalangle AOC)=150^\circ$. Semidreptele $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele unghiurilor $AOB$, respectiv $BOC$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

1. A. $27^\circ$
2. B. $48^\circ$
3. C. $75^\circ$
4. D. $123^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=64^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=38^\circ$. Punctul $D$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $BC$. Măsura unghiului $BAD$ este egală cu:

1. A. $26^\circ$
2. B. $39^\circ$
3. C. $52^\circ$
4. D. $78^\circ$

4. (5p) Un teren de volei are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu lungimea $AB=18$ m și diagonala $AC=9\sqrt{5}$ m. Aria terenului este egală cu:

1. A. $54$ m$^2$
2. B. $162$ m$^2$
3. C. $81\sqrt{5}$ m$^2$
4. D. $162\sqrt{5}$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $BAD$ este egală cu $78^\circ$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu:

1. A. $39^\circ$
2. B. $78^\circ$
3. C. $102^\circ$
4. D. $156^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu muchia de $7$ cm. Distanța de la punctul $B$ la planul $(ACC')$ este egală cu:

1. A. $\frac{7\sqrt{2}}{2}$ cm
2. B. $7$ cm
3. C. $7\sqrt{2}$ cm
4. D. $7\sqrt{3}$ cm

1. (5p) La un turneu de șah, fiecare participant a jucat exact o partidă cu fiecare dintre ceilalți participanți. a) ($2$p) Este posibil ca la turneu să se fi jucat, în total, $50$ de partide? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Știind că la turneu s-au jucat, în total, $66$ de partide, determină numărul participanților.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}+\frac{12}{x+3}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{x-3}{x+3}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. a) ($2$p) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $P(m,21)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. b) ($3$p) Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

4. (5p) Un bazin de înot are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=34$ m și $AD=15$ m. Punctul $E$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AE=9$ m. Un înotător parcurge traseul $D\to E\to C$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $DEC$ este egală cu $255$ m$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $DE$ și $EC$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $7$ cm. Din punctul $P$, cu $OP=25$ cm, sunt duse tangentele $PA$ și $PB$ la cerc, punctele $A$ și $B$ fiind pe cerc. a) ($2$p) Arată că $PA=24$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea coardei $AB$.

6. (5p) Un trofeu are forma piramidei patrulatere regulate $VABCD$ din figura alăturată, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=14$ cm și înălțimea $VO=7$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $196\sqrt{2}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(VBC)$ și planul $(ABC)$.