Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{2}{3}+\frac{7}{12}:\frac{14}{9}$ este egal cu:

1. A. $\frac{5}{11}$
2. B. $\frac{45}{56}$
3. C. $\frac{25}{24}$
4. D. $\frac{85}{54}$

2. (5p) Un ciclist parcurge $54$ km în $2$ ore. Mergând tot timpul cu aceeași viteză, în $3$ ore și $20$ de minute ciclistul parcurge:

1. A. $32{,}4$ km
2. B. $81$ km
3. C. $86{,}4$ km
4. D. $90$ km

3. (5p) Cei $56$ de băieți și cele $42$ de fete ale unei școli participă la un cros. Profesorul de sport îi împarte pe toți în echipe, astfel încât fiecare echipă să aibă același număr de băieți și același număr de fete. Cel mai mare număr de echipe care se pot forma este egal cu:

1. A. $7$
2. B. $14$
3. C. $98$
4. D. $168$

4. (5p) Se consideră intervalele $A=[-5,1)$ și $B=(-2,3]$. Numărul elementelor mulțimii $(A\cup B)\cap\mathbb{Z}$ este egal cu:

1. A. $2$
2. B. $7$
3. C. $8$
4. D. $9$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\left(3\sqrt{3}-4\right)^2$. Rezultatele obținute sunt: Ana $43-24\sqrt{3}$, Bogdan $11$, Carmen $43-12\sqrt{3}$, Dan $11-24\sqrt{3}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) La proba de săritură în lungime a unui concurs școlar, cei șapte concurenți au obținut, în ordinea intrării în concurs, rezultatele: $6{,}12$ m; $5{,}98$ m; $6{,}40$ m; $6{,}05$ m; $6{,}31$ m; $5{,}87$ m; $6{,}20$ m. Afirmația „Mediana rezultatelor obținute este egală cu $6{,}05$ m.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=5\cdot BC$ și $AC=72$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Lungimea segmentului $MC$ este egală cu:

1. A. $30$ cm
2. B. $36$ cm
3. C. $42$ cm
4. D. $60$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $EF$ și $GH$ sunt paralele, iar dreapta $AB$ le intersectează în punctele $A\in EF$ și $B\in GH$. Măsura unghiului $FAB$ este egală cu $(7x-30)^\circ$, iar măsura unghiului $ABG$ este egală cu $(4x+18)^\circ$. Măsura unghiului $FAB$ este egală cu:

1. A. $16^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $82^\circ$
4. D. $98^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, iar $AD\perp BC$, cu $D\in BC$. Se știe că $BD=9$ cm și $BC=16$ cm. Lungimea catetei $AB$ este egală cu:

1. A. $7$ cm
2. B. $3\sqrt{7}$ cm
3. C. $4\sqrt{7}$ cm
4. D. $12$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu latura $AB=12$ cm și măsura unghiului $BAD$ egală cu $120^\circ$. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $36\sqrt{3}$ cm$^2$
2. B. $72\sqrt{3}$ cm$^2$
3. C. $144$ cm$^2$
4. D. $144\sqrt{3}$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, iar segmentul $AB$ este diametru al cercului. Măsurile unghiurilor $CAB$ și $CBA$ sunt direct proporționale cu numerele $7$ și $11$. Măsura unghiului $CAB$ este egală cu:

1. A. $35^\circ$
2. B. $55^\circ$
3. C. $70^\circ$
4. D. $110^\circ$

6. (5p) Bidonul de apă al unui ciclist are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=4$ cm și înălțimea $OO'=21$ cm. Volumul bidonului este egal cu:

1. A. $112\pi$ cm$^3$
2. B. $168\pi$ cm$^3$
3. C. $336\pi$ cm$^3$
4. D. $1344\pi$ cm$^3$

1. (5p) Într-un campionat de fotbal, o echipă primește $3$ puncte pentru o victorie, $1$ punct pentru un meci egal și $0$ puncte pentru o înfrângere. O echipă a jucat $30$ de meciuri, dintre care a pierdut $6$, și a acumulat $56$ de puncte. a) ($2$p) Este posibil ca echipa să fi câștigat $20$ de meciuri? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul meciurilor câștigate de echipă.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x-2)^2+2(x-2)(x+4)+(x+4)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=4(x+1)^2$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)<64$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=-4x+10$. a) ($2$p) Arată că punctul $A(1,6)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. b) ($3$p) Punctul $M$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ și are abscisa egală cu ordonata. Arată că distanța de la punctul $M$ la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ este egală cu $2\sqrt{2}$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm, $CD=12$ cm și diagonala $AC=20$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că $AO=12$ cm. b) ($3$p) Știind că aria triunghiului $DOC$ este egală cu $16$ cm$^2$, arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $100$ cm$^2$.

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$ și rază $14$ cm, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $120^\circ$. Punctul $C$ aparține cercului, astfel încât segmentul $AC$ este diametru. a) ($2$p) Arată că $AB=14\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $98\sqrt{3}$ cm$^2$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu muchia de $9$ cm. Punctul $O$ este centrul pătratului $ABCD$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $A'BD$ este egală cu $\frac{81\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BD)$.