Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 47
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $(-48):(-6)-3\cdot(-5)+(-2)^3$ este egal cu:
2. (5p) Un stadion are $24\,000$ de locuri. La un meci, $85\%$ dintre locuri au fost ocupate. Numărul locurilor rămase libere a fost egal cu:
3. (5p) La un turneu de tenis participă $32$ de jucători. La fiecare meci joacă doi jucători, iar cel care pierde este eliminat din turneu; turneul se încheie când rămâne un singur jucător, câștigătorul. Numărul total de meciuri jucate la turneu este egal cu:
4. (5p) Cel mai mare număr întreg $x$ care verifică inegalitatea $3(x-2)>5x-14$ este egal cu:
5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\frac{4}{\sqrt{13}-3}-\sqrt{13}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $-3-2\sqrt{13}$, Bogdan $2\sqrt{13}+3$, Carmen $\frac{3-3\sqrt{13}}{4}$, Dan $3$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Într-o clasă sunt $30$ de elevi. Dintre ei, $12$ elevi joacă fotbal, $9$ elevi joacă baschet, iar $4$ elevi joacă și fotbal, și baschet. Se alege la întâmplare un elev al clasei. Afirmația „Probabilitatea ca elevul ales să nu joace nici fotbal, nici baschet este egală cu $\frac{3}{10}$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=2{,}4$ dm și $BC=36$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle BAC)=52^\circ$ și $m(\sphericalangle ABC)=58^\circ$. Punctul $D$ aparține semidreptei $BC$, astfel încât $C$ este între $B$ și $D$. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, iar punctele $D$ și $E$ aparțin laturilor $AB$, respectiv $AC$, astfel încât $DE\parallel BC$. Se știe că $AD=12$ cm, $DB=8$ cm și $AE=15$ cm. Lungimea segmentului $EC$ este egală cu:
4. (5p) Un panou publicitar de pe marginea unui stadion are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=12$ m, $AD=5\sqrt{2}$ m și măsura unghiului $DAB$ egală cu $45^\circ$. Aria panoului este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată, dreapta $PA$ este tangentă în punctul $A$ cercului de centru $O$ și rază $OA=11$ cm, iar măsura unghiului $APO$ este egală cu $30^\circ$. Lungimea segmentului $PA$ este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu muchia de $10$ cm. Distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BC)$ este egală cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) La un concurs de tir cu arcul, fiecare concurent trage $20$ de săgeți. Pentru fiecare săgeată care nimerește ținta, concurentul primește $6$ puncte, iar pentru fiecare săgeată care ratează ținta i se scad $3$ puncte. a) ($2$p) Este posibil ca un concurent să termine concursul cu $60$ de puncte? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Un concurent a terminat concursul cu $84$ de puncte. Determină numărul săgeților lui care au nimerit ținta.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-3x}{x^2-9}+\frac{5}{x+3}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2-3x}{x^2-9}=\frac{x}{x+3}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Arată că $E(n)$ nu este număr natural, pentru orice număr natural $n$, $n\neq 3$.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+6$, unde $a$ este un număr real. Punctul $A(2,-4)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $a=-5$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $M$, respectiv $N$. Arată că aria triunghiului $MON$ este egală cu $3{,}6$.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=26$ cm și $AD=13$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ADM$ este isoscel. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AM$ și $BM$ sunt perpendiculare.
5. (5p) Terenul de sport din figura alăturată este format din dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=80$ m și $BC=50$ m, și din două semicercuri cu diametrele $BC$, respectiv $AD$, construite în exteriorul dreptunghiului. a) ($2$p) Arată că lungimea conturului terenului este mai mare de $316$ m. b) ($3$p) Arată că aria terenului este mai mică de $6000$ m$^2$.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4\sqrt{6}$ cm și muchia laterală $VA=8\sqrt{3}$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei. a) ($2$p) Arată că măsura unghiului dintre dreapta $VA$ și planul $(ABC)$ este egală cu $60^\circ$. b) ($3$p) Determină volumul piramidei.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.