Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $84:(2^3-1)+3\cdot 4$ este egal cu:

1. A. $21{,}5$
2. B. $24$
3. C. $28{,}8$
4. D. $60$

2. (5p) O cameră la o pensiune de pe litoral costă $260$ de lei pe noapte în luna mai. În luna august, prețul unei nopți este cu $20\%$ mai mare. Prețul unei nopți în luna august este de:

1. A. $52$ de lei
2. B. $280$ de lei
3. C. $312$ de lei
4. D. $325$ de lei

3. (5p) Rezultatul calculului $\sqrt{98}-\sqrt{18}+\sqrt{50}$ este egal cu:

1. A. $\sqrt{130}$
2. B. $9\sqrt{2}$
3. C. $15\sqrt{2}$
4. D. $51\sqrt{2}$

4. (5p) Se consideră intervalele $A=[-4,3)$ și $B=(-1,6]$. Numărul numerelor întregi care aparțin mulțimii $A\cap B$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $4$
3. C. $5$
4. D. $11$

5. (5p) Din portul unei stațiuni pleacă două vapoare de agrement: primul la fiecare $18$ minute, al doilea la fiecare $30$ de minute. La ora $10$ au plecat amândouă deodată. Patru elevi au calculat după câte minute vor pleca din nou amândouă deodată. Rezultatele obținute sunt: Andrei $6$, Bianca $48$, Cosmin $90$, Daria $540$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Andrei
2. B. Bianca
3. C. Cosmin
4. D. Daria

6. (5p) În cele cinci zile ale unei excursii la munte, un grup de turiști a parcurs pe jos $12$ km, $15$ km, $9$ km, $18$ km și $11$ km. Afirmația „În medie, grupul a parcurs $13$ km pe zi.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ marchează patru hoteluri de pe faleza dreaptă a unei stațiuni, în această ordine, astfel încât $AD=380$ m, $AB=120$ m și $CD=80$ m. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $CD$. Distanța $MN$ este egală cu:

1. A. $100$ m
2. B. $180$ m
3. C. $190$ m
4. D. $280$ m

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ le intersectează în punctele $A$, respectiv $B$. Punctele $P\in a$ și $Q\in b$ sunt de aceeași parte a dreptei $c$, iar $m(\sphericalangle PAB)=2x+15^\circ$ și $m(\sphericalangle QBA)=3x+40^\circ$. Măsura unghiului $QBA$ este egală cu:

1. A. $25^\circ$
2. B. $61^\circ$
3. C. $65^\circ$
4. D. $115^\circ$

3. (5p) În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, $m(\sphericalangle ABC)=32^\circ$, iar punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$. Măsura unghiului $AMC$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $58^\circ$
3. C. $64^\circ$
4. D. $116^\circ$

4. (5p) Terasa unei pensiuni are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=14$ m, $AD=9$ m și $m(\sphericalangle BAD)=150^\circ$. Aria terasei este egală cu:

1. A. $31{,}5$ m$^2$
2. B. $63$ m$^2$
3. C. $63\sqrt{3}$ m$^2$
4. D. $126$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ se află, în această ordine, pe cercul de centru $O$, astfel încât $m(\sphericalangle BAC)=30^\circ$ și $m(\sphericalangle CAD)=50^\circ$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu:

1. A. $50^\circ$
2. B. $80^\circ$
3. C. $100^\circ$
4. D. $160^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$ și $AB=20$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul muchiei $BC$. Unghiul dintre planele $(VBC)$ și $(ABC)$ are măsura de $60^\circ$. Aria laterală a piramidei este egală cu:

1. A. $400\sqrt{3}$ cm$^2$
2. B. $800$ cm$^2$
3. C. $1200$ cm$^2$
4. D. $1600$ cm$^2$

1. (5p) Un grup de $38$ de turiști este cazat la un hotel în $15$ camere. Fiecare cameră este dublă (cu $2$ locuri) sau triplă (cu $3$ locuri), iar toate locurile din cele $15$ camere sunt ocupate. a) ($2$p) Este posibil ca toate cele $15$ camere să fie duble? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul camerelor triple.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-12x+36}{x^2-36}+\frac{6}{x+6}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -6$ și $x\neq 6$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x}{x+6}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -6$ și $x\neq 6$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$, $n\neq -6$ și $n\neq 6$, pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=5x-10$. a) ($2$p) Arată că punctul $A(3,5)$ aparține graficului funcției $f$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P$ și axa $Oy$ în punctul $Q$. Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la dreapta $PQ$.

4. (5p) O grădină a unei pensiuni are forma trapezului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ m, $CD=16$ m, iar distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este de $15$ m. Aleile $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că $\frac{OA}{OC}=\frac{3}{2}$. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $AOB$ este egală cu $108$ m$^2$.

5. (5p) Un lac are forma unui disc cu centrul $O$ și raza de $30$ m. Un pod drept $AB$, cu capetele $A$ și $B$ pe malul lacului, are lungimea de $48$ m. Punctul $C$ se află pe mal, astfel încât $AC$ este diametru al cercului, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că distanța de la centrul $O$ la dreapta $AB$ este egală cu $18$ m. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $864$ m$^2$.

6. (5p) Holul unui hotel are forma paralelipipedului dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ din figura alăturată, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ m și înălțimea $AA'=4$ m. a) ($2$p) Pereții holului, adică fețele laterale ale paralelipipedului, se vopsesc. Arată că aria suprafeței care se vopsește este egală cu $128$ m$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $D'$ la dreapta $AC$.