Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{3}{5}+\frac{4}{15}:\frac{2}{3}$ este egal cu:

1. A. $\frac{1}{2}$
2. B. $\frac{7}{9}$
3. C. $1$
4. D. $\frac{13}{10}$

2. (5p) Un sejur la munte costă $2400$ de lei. La rezervare se plătește un avans de $35\%$ din prețul sejurului. Avansul este de:

1. A. $84$ de lei
2. B. $840$ de lei
3. C. $1560$ de lei
4. D. $3240$ de lei

3. (5p) Soluția ecuației $3(x-2)=x+9$ este:

1. A. $1{,}5$
2. B. $3{,}75$
3. C. $5{,}5$
4. D. $7{,}5$

4. (5p) Numărul $a=\left|2\sqrt{3}-4\right|+\left|2\sqrt{3}-3\right|$ este egal cu:

1. A. $7-4\sqrt{3}$
2. B. $1$
3. C. $7$
4. D. $4\sqrt{3}+1$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat inversul numărului $\sqrt{7}-2$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$, Bogdan $\sqrt{7}+2$, Carmen $\frac{\sqrt{7}+2}{5}$, Dan $2-\sqrt{7}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Șase familii au stat la o pensiune, în vacanța de vară, următoarele numere de nopți: $3$, $7$, $5$, $4$, $7$ și $2$. Afirmația „Mediana acestor date este egală cu $7$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=2x+3$ cm, $BC=x+5$ cm și $AC=29$ cm. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

1. A. $7$ cm
2. B. $12$ cm
3. C. $14{,}5$ cm
4. D. $17$ cm

2. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, iar punctul $B$ nu aparține dreptei $AC$, astfel încât măsura unghiului $AOB$ este de patru ori mai mare decât măsura unghiului $BOC$. Semidreptele $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele unghiurilor $AOB$, respectiv $BOC$. Măsura unghiului $MOC$ este egală cu:

1. A. $36^\circ$
2. B. $72^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $108^\circ$

3. (5p) Acoperișul unei cabane are, în secțiune, forma triunghiului isoscel $ABC$ din figura alăturată, cu $AB=AC=10$ m și $m(\sphericalangle BAC)=120^\circ$. Lungimea laturii $BC$ este egală cu:

1. A. $5$ m
2. B. $10\sqrt{3}$ m
3. C. $20$ m
4. D. $20+10\sqrt{3}$ m

4. (5p) Un teren de camping are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=3\cdot BC$ și perimetrul egal cu $64$ m. Aria terenului este egală cu:

1. A. $96$ m$^2$
2. B. $192$ m$^2$
3. C. $256$ m$^2$
4. D. $768$ m$^2$

5. (5p) Blatul unei mese de pe terasa unei pensiuni are forma hexagonului regulat $ABCDEF$ din figura alăturată, cu latura de $5$ dm. Aria blatului este egală cu:

1. A. $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ dm$^2$
2. B. $\frac{75\sqrt{3}}{4}$ dm$^2$
3. C. $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ dm$^2$
4. D. $75\sqrt{3}$ dm$^2$

6. (5p) Un rezervor de apă al unei cabane are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=3$ dm și înălțimea $OO'=16$ dm. Volumul rezervorului este egal cu:

1. A. $48\pi$ dm$^3$
2. B. $96\pi$ dm$^3$
3. C. $144\pi$ dm$^3$
4. D. $576\pi$ dm$^3$

1. (5p) O familie formată din $2$ adulți și $3$ copii petrece un sejur la o pensiune. Pentru o noapte de cazare, prețul plătit pentru un copil este jumătate din prețul plătit pentru un adult, iar familia plătește în total $420$ de lei pe noapte. a) ($2$p) Este posibil ca prețul unei nopți pentru un adult să fie de $100$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină prețul unei nopți pentru un copil.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x-1)^2-(x+3)(x-3)-3x^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=10-4x$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele reale $x$ pentru care $E(x)=x^2+5$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(m+2)x-3$, unde $m$ este un număr real. a) ($2$p) Determină numărul real $m$, știind că punctul $A(2,5)$ aparține graficului funcției $f$. b) ($3$p) Pentru $m=2$, graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P$ și axa $Oy$ în punctul $Q$. Arată că $PQ=\frac{3\sqrt{17}}{4}$.

4. (5p) O parcelă a unui camping are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu aria de $96$ m$^2$. Punctul $M$ aparține laturii $CD$, astfel încât $CM=2\cdot DM$, iar aleile $AM$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că $\frac{DP}{PB}=\frac{1}{3}$. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $APB$ este egală cu $36$ m$^2$.

5. (5p) O insulă dintr-un lac are forma unui disc cu centrul $O$ și raza de $8$ m. Din punctul $P$, aflat pe apă la $16$ m de centrul $O$, două bărci pornesc pe trasee drepte, $PA$ și $PB$, tangente la marginea insulei în punctele $A$, respectiv $B$, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că $PA=8\sqrt{3}$ m. b) ($3$p) Arată că triunghiul $APB$ este echilateral și determină perimetrul lui.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=12$ cm și înălțimea $VO=6\sqrt{2}$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $288\sqrt{2}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$.