Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2^4:4+5\cdot(11-3)$ este egal cu:

1. A. $42$
2. B. $44$
3. C. $56$
4. D. $72$

2. (5p) Un apartament are suprafața de $75$ m$^2$, iar bucătăria lui ocupă $12\%$ din această suprafață. Suprafața restului apartamentului, fără bucătărie, este egală cu:

1. A. $9$ m$^2$
2. B. $63$ m$^2$
3. C. $66$ m$^2$
4. D. $74{,}88$ m$^2$

3. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-3x-18=0$ este:

1. A. $\{-6,3\}$
2. B. $\{6\}$
3. C. $\varnothing$
4. D. $\{-3,6\}$

4. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -7<3x+2\le 11\}$ este egal cu:

1. A. $5$
2. B. $6$
3. C. $7$
4. D. $18$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\left(\sqrt{20}+\sqrt{5}\right)^2$. Rezultatele obținute sunt: Ana $25$, Bogdan $35$, Carmen $9\sqrt{5}$, Dan $45$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Suprafețele, în m$^2$, ale celor șapte încăperi ale unei case sunt: $12$, $18$, $9$, $15$, $20$, $11$, $14$. Afirmația „Mediana acestor suprafețe este egală cu $15$ m$^2$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ marchează, în această ordine, patru stâlpi ai unui gard drept. Se știe că $AC=27$ m, $BD=31$ m și $AD=45$ m. Distanța $BC$ este egală cu:

1. A. $13$ m
2. B. $14$ m
3. C. $18$ m
4. D. $58$ m

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $MN$ și $PQ$ sunt paralele, iar o dreaptă le intersectează în punctele $A\in MN$ și $B\in PQ$. Se știe că $m(\sphericalangle NAB)=3x$ și $m(\sphericalangle ABQ)=2x+20^\circ$. Măsura unghiului $ABQ$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $84^\circ$
4. D. $96^\circ$

3. (5p) Ferma unui acoperiș are forma triunghiului isoscel $ABC$ din figura alăturată, cu $AB=AC=5$ m. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, iar grinda $MN$ are lungimea de $4{,}3$ m. Perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu:

1. A. $9{,}3$ m
2. B. $12{,}15$ m
3. C. $14{,}3$ m
4. D. $18{,}6$ m

4. (5p) O fereastră are forma figurii alăturate, formată din dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=1{,}2$ m și $BC=1{,}5$ m, și semicercul de diametru $CD$, construit în exteriorul dreptunghiului. Aria ferestrei este egală cu:

1. A. $1{,}8+0{,}18\pi$ m$^2$
2. B. $1{,}8+0{,}36\pi$ m$^2$
3. C. $1{,}8+0{,}72\pi$ m$^2$
4. D. $1{,}8+1{,}44\pi$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, iar punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$. Măsura unghiului $OAB$ este egală cu $22^\circ$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $22^\circ$
2. B. $44^\circ$
3. C. $68^\circ$
4. D. $136^\circ$

6. (5p) O coloană a unei clădiri are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=0{,}3$ m și înălțimea $OO'=4$ m. Volumul coloanei este egal cu:

1. A. $0{,}12\pi$ m$^3$
2. B. $0{,}36\pi$ m$^3$
3. C. $1{,}44\pi$ m$^3$
4. D. $2{,}4\pi$ m$^3$

1. (5p) O scară duce de la parterul unei case la etaj, iar toate treptele ei au aceeași înălțime. Dacă fiecare treaptă ar avea înălțimea de $15$ cm, scara ar avea cu $4$ trepte mai mult decât dacă fiecare treaptă ar avea înălțimea de $18$ cm. a) ($2$p) Este posibil ca, având trepte de câte $18$ cm, scara să aibă $16$ trepte? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină înălțimea la care se află etajul față de parter.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+3}{x-1}-\frac{4}{x^2-x}\right):\frac{x+4}{x+6}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -6$, $x\neq -4$, $x\neq 0$ și $x\neq 1$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+3}{x-1}-\frac{4}{x^2-x}=\frac{x+4}{x}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq 0$ și $x\neq 1$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax-8$, unde $a$ este număr real, iar punctul $M(3,-4)$ aparține graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $a=\frac{4}{3}$. b) ($3$p) Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la graficul funcției $f$.

4. (5p) Un vitraliu are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=25$ dm, $CD=9$ dm și înălțimea de $17$ dm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că aria vitraliului este egală cu $289$ dm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare.

5. (5p) Partea de sus a unei uși are forma arcului de cerc $ANB$ din figura alăturată, al cercului de centru $O$. Coarda $AB$ are lungimea de $6\sqrt{3}$ dm, $M$ este mijlocul ei, iar punctul $N$ al arcului este astfel încât $MN\perp AB$ și $MN=3$ dm. a) ($2$p) Arată că raza cercului este egală cu $6$ dm. b) ($3$p) Determină măsura unghiului $AOB$.

6. (5p) O cabană are forma prismei drepte $ABCA'B'C'$ din figura alăturată, așezată cu fața $BCC'B'$ pe sol. Baza $ABC$ este un triunghi isoscel, cu $AB=AC$, $BC=8$ m și înălțimea $AD=4$ m, unde $D\in BC$, iar $AA'=10$ m. Fețele $ABB'A'$ și $ACC'A'$ formează acoperișul cabanei. a) ($2$p) Arată că aria acoperișului este egală cu $80\sqrt{2}$ m$^2$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(ABB')$ și planul solului, $(BCC')$.