Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $(-12):(-3)+(-2)\cdot 5$ este egal cu:

1. A. $-14$
2. B. $-6$
3. C. $10$
4. D. $14$

2. (5p) $12$ zugravi, care lucrează în același ritm, zugrăvesc o clădire în $8$ zile. Numărul de zile în care ar zugrăvi aceeași clădire $6$ zugravi, care lucrează în același ritm, este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $14$
3. C. $16$
4. D. $96$

3. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $(x-3)^2=16$ este:

1. A. $\{-7,1\}$
2. B. $\{7\}$
3. C. $\{19\}$
4. D. $\{-1,7\}$

4. (5p) Pe $\frac{3}{4}$ din suprafața unei curți s-a pus pavaj, adică pe $60$ m$^2$. Suprafața întregii curți este egală cu:

1. A. $20$ m$^2$
2. B. $45$ m$^2$
3. C. $80$ m$^2$
4. D. $240$ m$^2$

5. (5p) Patru elevi, Elena, Florin, Gabriel și Horia, au calculat media geometrică a numerelor $\sqrt{12}$ și $\sqrt{48}$. Rezultatele lor sunt: Elena $3\sqrt{3}$, Florin $24$, Gabriel $12$, Horia $2\sqrt{6}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Elena
2. B. Florin
3. C. Gabriel
4. D. Horia

6. (5p) Într-un bloc sunt $6$ apartamente cu o cameră, $14$ apartamente cu $2$ camere, $12$ apartamente cu $3$ camere și $8$ apartamente cu $4$ camere. Afirmația „În apartamentele blocului sunt, în total, mai mult de $100$ de camere.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $M$, $N$ și $B$ se află, în această ordine, pe o grindă dreaptă, astfel încât $AM=MN=NB$ și $AB=4{,}2$ m. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $NB$. Lungimea segmentului $AP$ este egală cu:

1. A. $2{,}1$ m
2. B. $2{,}8$ m
3. C. $3{,}5$ m
4. D. $4{,}2$ m

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, cu $m(\sphericalangle AOB)=64^\circ$ și $m(\sphericalangle BOC)=42^\circ$, iar semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $MOC$ este egală cu:

1. A. $53^\circ$
2. B. $74^\circ$
3. C. $85^\circ$
4. D. $106^\circ$

3. (5p) În figura alăturată, căpriorul $AB$ al unui acoperiș are lungimea de $5$ m și formează cu orizontala $AC$ un unghi de $30^\circ$, iar $BC\perp AC$. Înălțimea $BC$ este egală cu:

1. A. $2{,}5$ m
2. B. $2{,}5\sqrt{2}$ m
3. C. $2{,}5\sqrt{3}$ m
4. D. $10$ m

4. (5p) Planul unei camere are forma poligonului $ABCDEF$ din figura alăturată, în care oricare două laturi consecutive sunt perpendiculare, $AB=7$ m, $BC=3$ m, $CD=3$ m, $DE=2$ m și $AF=5$ m. Aria camerei este egală cu:

1. A. $24$ m$^2$
2. B. $29$ m$^2$
3. C. $35$ m$^2$
4. D. $41$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$, iar punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu $52^\circ$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $64^\circ$
2. B. $104^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $128^\circ$

6. (5p) Cupola unei clădiri are forma unei semisfere cu centrul $O$ și raza $OA=5$ m, ca în figura alăturată. Aria suprafeței cupolei, fără baza ei, este egală cu:

1. A. $50\pi$ m$^2$
2. B. $75\pi$ m$^2$
3. C. $\frac{250\pi}{3}$ m$^2$
4. D. $100\pi$ m$^2$

1. (5p) O familie plătește construcția unei case în trei etape: în prima etapă plătește $30\%$ din costul total, în a doua etapă $40\%$ din suma rămasă de plată, iar în a treia etapă restul, de $84\,000$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca prețul casei să fie de $150\,000$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină prețul casei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(2x+5)^2-(x+2)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x+3)(3x+7)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr prim.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-9$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-\frac{1}{3}x+1$. a) ($2$p) Arată că punctul $A(3,0)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Oy$ în punctele $B$, respectiv $C$. Demonstrează că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

4. (5p) Un teren are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=20$ m, $AD=12$ m și $m(\sphericalangle DAB)=60^\circ$. Bisectoarea unghiului $DAB$ intersectează latura $CD$ în punctul $E$. a) ($2$p) Arată că aria terenului este egală cu $120\sqrt{3}$ m$^2$. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $BE$.

5. (5p) Un rond de flori are forma cercului de centru $O$ și rază $8$ m din figura alăturată. În mijlocul lui se află un bazin în forma pătratului $ABCD$, cu vârfurile pe cerc, iar flori se plantează pe restul rondului. a) ($2$p) Arată că aria bazinului este egală cu $128$ m$^2$. b) ($3$p) Arată că aria suprafeței plantate cu flori este mai mică decât $74$ m$^2$. Se știe că $\pi<3{,}15$.

6. (5p) Un monument are forma prismei triunghiulare regulate $ABCA'B'C'$ din figura alăturată, cu $AB=6\sqrt{3}$ m și $AA'=3\sqrt{3}$ m. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, iar $N$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $A'M$. a) ($2$p) Arată că volumul monumentului este egal cu $243$ m$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BC)$.