Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $84:4\cdot 3+5^2$ este egal cu:

1. A. $32$
2. B. $73$
3. C. $88$
4. D. $588$

2. (5p) Într-un magazin online, un aspirator costă $300$ de lei fără TVA. La plata comenzii, la acest preț se adaugă TVA de $21\%$. Prețul aspiratorului cu TVA este egal cu:

1. A. $63$ de lei
2. B. $237$ de lei
3. C. $321$ de lei
4. D. $363$ de lei

3. (5p) Numărul divizorilor naturali ai numărului $45$ este egal cu:

1. A. $2$
2. B. $4$
3. C. $6$
4. D. $12$

4. (5p) Numărul $\left(2\sqrt{6}-3\right)^2$ este egal cu:

1. A. $33-12\sqrt{6}$
2. B. $15$
3. C. $33-6\sqrt{6}$
4. D. $33$

5. (5p) Patru elevi, Ioana, Matei, Carla și Victor, au calculat $|1-\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|$. Rezultatele obținute sunt: Ioana $2$, Matei $4-2\sqrt{5}$, Carla $2\sqrt{5}-4$, Victor $-2$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ioana
2. B. Matei
3. C. Carla
4. D. Victor

6. (5p) Într-o zi, un magazin online a expediat $40$ de comenzi: $18$ au fost livrate prin curier la domiciliu, $12$ la un punct de ridicare, iar $10$ au fost ridicate de clienți din depozit. Se alege la întâmplare una dintre aceste comenzi. Afirmația „Probabilitatea ca aceasta să fi fost livrată prin curier la domiciliu este egală cu $0{,}45$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=9$ cm, $BC=15$ cm și $CD=7$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $15$ cm
2. B. $15{,}5$ cm
3. C. $23$ cm
4. D. $31$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt intersectate de o secantă în punctele $A\in a$ și $B\in b$. Punctele $M\in a$ și $N\in b$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$, $m(\sphericalangle MAB)=(2x+21)^\circ$ și $m(\sphericalangle NBA)=(3x-6)^\circ$. Măsura unghiului $NBA$ este egală cu:

1. A. $33^\circ$
2. B. $75^\circ$
3. C. $87^\circ$
4. D. $93^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC=11$ cm și măsura unghiului $BAC$ egală cu $120^\circ$. Lungimea laturii $BC$ este egală cu:

1. A. $5{,}5$ cm
2. B. $\frac{11\sqrt{3}}{2}$ cm
3. C. $11$ cm
4. D. $11\sqrt{3}$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu latura $AB=61$ cm și diagonala $AC=22$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $660$ cm$^2$
2. B. $1320$ cm$^2$
3. C. $1342$ cm$^2$
4. D. $2640$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului de centru $O$, punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $124^\circ$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $56^\circ$
2. B. $62^\circ$
3. C. $118^\circ$
4. D. $124^\circ$

6. (5p) Un borcan are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=3$ cm și înălțimea $OO'=11$ cm. Volumul cilindrului este egal cu:

1. A. $33\pi$ cm$^3$
2. B. $66\pi$ cm$^3$
3. C. $99\pi$ cm$^3$
4. D. $396\pi$ cm$^3$

1. (5p) Andrei comandă online mai multe cărți, toate cu același preț. Magazinul percepe o taxă de livrare de $15$ lei, dar livrarea este gratuită dacă valoarea cărților comandate este mai mare de $200$ de lei. Pentru o comandă de $4$ cărți, Andrei ar plăti în total $175$ de lei, cu tot cu livrarea. a) ($2$p) Arată că o carte costă $40$ de lei. b) ($3$p) Determină numărul minim de cărți pe care trebuie să le comande Andrei pentru ca livrarea să fie gratuită și suma pe care o plătește în acest caz.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot\frac{x^2+x}{x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -2$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2-4}{x^2-2x}=\frac{x+2}{x}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$, $a\neq -2$, $a\neq 0$ și $a\neq 2$, pentru care $E(a)=a^2-5$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Punctele $A(-1,7)$ și $B(2,-2)$ aparțin reprezentării grafice a funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $a=-3$ și $b=4$. b) ($3$p) Reprezentarea grafică a funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $M$ și axa $Oy$ în punctul $N$. Determină perimetrul triunghiului $MON$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=30$ cm și $AD=9$ cm. Punctul $M$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DM=3$ cm. a) ($2$p) Arată că triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $M$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $D$ la dreapta $AM$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este diametru al cercului de centru $O$, $AB=28$ cm, iar punctul $C$ aparține cercului, astfel încât măsura unghiului $ABC$ este egală cu $30^\circ$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $AOC$ este echilateral. b) ($3$p) Determină aria porțiunii din disc cuprinse între coarda $AC$ și arcul mic $AC$.

6. (5p) Un ghiveci are forma trunchiului de con circular drept din figura alăturată: fundul ghiveciului este discul de centru $O$ și rază $OA=5$ cm, gura lui este cercul de centru $O'$ și rază $O'A'=14$ cm, iar înălțimea este $OO'=40$ cm. a) ($2$p) Arată că generatoarea $AA'$ a trunchiului de con are lungimea de $41$ cm. b) ($3$p) Ghiveciul nu are capac. Determină aria suprafeței exterioare a ghiveciului, formată din suprafața laterală și fundul lui.