Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $7\cdot 8-48:4\cdot 2$ este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $32$
3. C. $44$
4. D. $50$

2. (5p) Elevii unei școli au strâns pentru reciclare $250$ kg de hârtie, dintre care $36\%$ au fost carton. Cantitatea de carton strânsă de elevi, exprimată în kilograme, este egală cu:

1. A. $90$
2. B. $160$
3. C. $214$
4. D. $286$

3. (5p) La o acțiune de împădurire s-au plantat $54$ de puieți de stejar și $90$ de puieți de tei, în rânduri. Fiecare rând are puieți dintr-o singură specie, toate rândurile au același număr de puieți, iar acest număr este cel mai mare posibil. Numărul rândurilor plantate este egal cu:

1. A. $8$
2. B. $16$
3. C. $18$
4. D. $270$

4. (5p) Cea mai mare dintre soluțiile reale ale ecuației $x^2+2x-24=0$ este egală cu:

1. A. $-6$
2. B. $4$
3. C. $6$
4. D. $8$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\left(\sqrt{72}-\sqrt{32}\right)\cdot\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $4\sqrt{5}$, Bogdan $2\sqrt{2}$, Carmen $4$, Dan $12-4\sqrt{2}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) O stație meteo a înregistrat, în șase luni consecutive, următoarele cantități de precipitații, în litri pe metru pătrat: $48$, $62$, $55$, $39$, $70$ și $44$. Afirmația „Media lunară a precipitațiilor în aceste șase luni este egală cu $53$ de litri pe metru pătrat.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=26$ cm, $BD=30$ cm și $AD=40$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $10$ cm
3. C. $14$ cm
4. D. $16$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Știind că unghiul $AOB$ are $72^\circ$, iar unghiul $MON$ are $58^\circ$, măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. A. $22^\circ$
2. B. $36^\circ$
3. C. $44^\circ$
4. D. $116^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=74^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=48^\circ$. Bisectoarele unghiurilor $ABC$ și $ACB$ se intersectează în punctul $I$. Măsura unghiului $BIC$ este egală cu:

1. A. $61^\circ$
2. B. $95^\circ$
3. C. $119^\circ$
4. D. $122^\circ$

4. (5p) Un parc are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=32$ m, $AD=15$ m și măsura unghiului $ABC$ egală cu $150^\circ$. Aria parcului este egală cu:

1. A. $94$ m$^2$
2. B. $120$ m$^2$
3. C. $240$ m$^2$
4. D. $480$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $ABC$ este egală cu $104^\circ$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $52^\circ$
2. B. $76^\circ$
3. C. $104^\circ$
4. D. $208^\circ$

6. (5p) O grămadă de compost are forma conului circular drept din figura alăturată, cu vârful $V$, raza bazei $OA=1{,}5$ m și înălțimea $VO=2$ m. Volumul grămezii de compost este egal cu:

1. A. $1{,}5\pi$ m$^3$
2. B. $3\pi$ m$^3$
3. C. $4{,}5\pi$ m$^3$
4. D. $6\pi$ m$^3$

1. (5p) Elevii claselor a V-a, a VI-a și a VII-a ale unei școli au strâns împreună $450$ kg de hârtie pentru reciclare. Clasa a VI-a a strâns cu $30$ kg mai mult decât clasa a V-a, iar clasa a VII-a a strâns de două ori mai mult decât clasa a V-a. a) ($2$p) Este posibil ca elevii clasei a V-a să fi strâns $100$ kg de hârtie? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină cantitatea de hârtie strânsă de elevii clasei a VII-a.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+3}\right)\cdot\frac{x^2-9}{3x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$, $x\neq 1$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{3(x+1)}{x^2-9}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2}\,x+2$. a) ($2$p) Arată că punctul $P\left(\sqrt{2},4\right)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale la dreapta $AB$.

4. (5p) O grădină are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=30$ m, $CD=10$ m și măsura unghiului $DAB$ egală cu $45^\circ$. Aleile $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că aria grădinii este egală cu $200$ m$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$.

5. (5p) Pe o pajiște în formă de disc, cu centrul $O$ și raza de $9$ m, s-a amenajat un strat de flori în forma hexagonului regulat $ABCDEF$ din figura alăturată, înscris în cercul care mărginește pajiștea. a) ($2$p) Arată că $AC=9\sqrt{3}$ m. b) ($3$p) Arată că stratul de flori ocupă mai mult de $80\%$ din suprafața pajiștii. Se știe că $\sqrt{3}>1{,}73$ și $\pi<3{,}15$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu $AB=9$ cm. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. a) ($2$p) Arată că aria totală a tetraedrului este egală cu $81\sqrt{3}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $D$ la planul $(ABC)$.