Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2{,}4\cdot 1{,}5-0{,}9:0{,}3$ este egal cu:

1. A. $0{,}6$
2. B. $3{,}3$
3. C. $4{,}8$
4. D. $9$

2. (5p) $5$ voluntari plantează $120$ de puieți în $4$ ore. Lucrând în același ritm, $7$ voluntari plantează în $3$ ore un număr de puieți egal cu:

1. A. $90$
2. B. $126$
3. C. $168$
4. D. $224$

3. (5p) Rezultatul calculului $\frac{33}{\sqrt{11}}-\sqrt{44}$ este egal cu:

1. A. $-\sqrt{11}$
2. B. $\sqrt{11}$
3. C. $5\sqrt{11}$
4. D. $31\sqrt{11}$

4. (5p) Dacă $x$ și $y$ sunt numere reale astfel încât $x^2-y^2=45$ și $x-y=5$, atunci $x+y$ este egal cu:

1. A. $9$
2. B. $40$
3. C. $50$
4. D. $225$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Cristina și Dan, au calculat media geometrică a numerelor $8$ și $50$. Rezultatele obținute sunt: Ana $29$, Bogdan $400$, Cristina $20$, Dan $\sqrt{58}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Cristina
4. D. Dan

6. (5p) Într-un container pentru reciclare sunt $40$ de recipiente, dintre care $12$ sunt din sticlă, iar celelalte din plastic. Se alege la întâmplare un recipient. Afirmația „Probabilitatea ca recipientul ales să fie din sticlă este egală cu $\frac{3}{7}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, $AC=45$ cm și $\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Lungimea segmentului $AM$ este egală cu:

1. A. $12{,}5$ cm
2. B. $22{,}5$ cm
3. C. $25$ cm
4. D. $32{,}5$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt intersectate de secanta $c$. Unghiurile notate cu $1$ și $2$ sunt interne de aceeași parte a secantei și au măsurile $2x+24^\circ$, respectiv $3x+6^\circ$. Măsura unghiului $2$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $42^\circ$
3. C. $84^\circ$
4. D. $96^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, iar $AD\perp BC$, $D\in BC$. Dacă $BD=5$ cm și $DC=45$ cm, atunci lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $15$ cm
2. B. $25$ cm
3. C. $50$ cm
4. D. $225$ cm

4. (5p) O grădină are forma pătratului $ABCD$ din figura alăturată, cu diagonala $AC=18$ m. Aria grădinii este egală cu:

1. A. $36\sqrt{2}$ m$^2$
2. B. $81$ m$^2$
3. C. $162$ m$^2$
4. D. $324$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$ și $B$ la cercul de centru $O$ și rază $7$ cm, iar $OP=14$ cm. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $90^\circ$
4. D. $120^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia de $12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $CD$. Aria triunghiului $ABM$ este egală cu:

1. A. $36$ cm$^2$
2. B. $36\sqrt{2}$ cm$^2$
3. C. $36\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $72\sqrt{2}$ cm$^2$

1. (5p) Un grup de voluntari a plantat puieți în trei zile. În prima zi a plantat $40\%$ din numărul total de puieți, a doua zi $\frac{3}{5}$ din puieții rămași, iar a treia zi ultimii $72$ de puieți. a) ($2$p) Este posibil ca voluntarii să fi plantat în total $250$ de puieți? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul de puieți plantați a doua zi.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+10x+25}:\frac{x-5}{x+8}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -8$, $x\neq -5$ și $x\neq 5$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2-25}{x^2+10x+25}=\frac{x-5}{x+5}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -5$. b) ($3$p) Determină numărul real $a$ pentru care $E(a)=a+8$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=-3x+15$. a) ($2$p) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,6)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. b) ($3$p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $B$ și axa $Oy$ în punctul $C$. Determină sinusul unghiului $OCB$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctele $D$ și $E$ aparțin laturilor $AB$, respectiv $AC$, astfel încât $DE\parallel BC$, $AD=4$ cm, $DB=10$ cm și $DE=6$ cm. a) ($2$p) Arată că $BC=21$ cm. b) ($3$p) Arată că raportul dintre aria triunghiului $ADE$ și aria patrulaterului $DBCE$ este egal cu $\frac{4}{45}$.

5. (5p) Un rond de flori are forma unui disc cu centrul $O$, iar $AB=17$ m este un diametru al lui, ca în figura alăturată. Punctul $C$ aparține cercului care mărginește rondul, astfel încât $AC=8$ m. Pe triunghiul $ABC$ se plantează lalele. a) ($2$p) Arată că $BC=15$ m. b) ($3$p) Arată că lalelele ocupă mai mult de un sfert din suprafața rondului.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida hexagonală regulată $VABCDEF$, cu latura bazei $AB=12$ cm și înălțimea $VO=6\sqrt{3}$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $AB$. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $1296$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(VAB)$ și planul bazei.