Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $(-2)^4\cdot 3-(-5)^3:25$ este egal cu:

1. A. $-53$
2. B. $-43$
3. C. $43$
4. D. $53$

2. (5p) Într-o localitate au căzut în aprilie $60$ de litri de apă pe metru pătrat, iar în mai cu $15\%$ mai mult decât în aprilie. Cantitatea de apă căzută în mai, în litri pe metru pătrat, este egală cu:

1. A. $9$
2. B. $51$
3. C. $69$
4. D. $75$

3. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |2x+3|\le 7\}$ este egal cu:

1. A. $3$
2. B. $6$
3. C. $8$
4. D. $15$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $4x^2=36x$ este:

1. A. $\{9\}$
2. B. $\{0,9\}$
3. C. $\{0,36\}$
4. D. $\{-9,0\}$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Cristi și Diana, au calculat $\frac{3}{4}+\frac{5}{8}:\frac{5}{2}$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{11}{20}$, Bogdan $\frac{37}{16}$, Cristi $\frac{19}{4}$, Diana $1$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Cristi
4. D. Diana

6. (5p) Într-un parc sunt $30$ de copaci, numerotați cu numerele naturale de la $1$ la $30$. Un elev alege la întâmplare un copac pentru a-l uda. Afirmația „Probabilitatea ca numărul copacului ales să fie multiplu de $4$ este egală cu $\frac{7}{30}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Pe o alee dreaptă sunt plantați copaci în punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, ca în figura alăturată, astfel încât $BC=2\cdot AB$, $CD=3\cdot AB$ și $AD=66$ m. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $CD$. Distanța $MN$ este egală cu:

1. A. $33$ m
2. B. $44$ m
3. C. $55$ m
4. D. $66$ m

2. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare, iar semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $MOC$ este de cinci ori mai mare decât măsura unghiului $AOM$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $30^\circ$
2. B. $60^\circ$
3. C. $120^\circ$
4. D. $150^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC=26$ cm și $m(\sphericalangle BAC)=120^\circ$, iar $AD\perp BC$, $D\in BC$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

1. A. $13$ cm
2. B. $13\sqrt{3}$ cm
3. C. $26$ cm
4. D. $26\sqrt{3}$ cm

4. (5p) Un panou solar are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu diagonala $AC=29$ dm și latura $AB=21$ dm. Aria panoului este egală cu:

1. A. $82$ dm$^2$
2. B. $210$ dm$^2$
3. C. $420$ dm$^2$
4. D. $609$ dm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ împart cercul de centru $O$ în trei arce, $AB$, $BC$ și $CA$, ale căror măsuri sunt direct proporționale cu numerele $4$, $5$ și $9$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $40^\circ$
3. C. $80^\circ$
4. D. $140^\circ$

6. (5p) Un rezervor pentru apa de ploaie are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=0{,}5$ m și înălțimea $OO'=1{,}2$ m. Capacitatea rezervorului este egală cu:

1. A. $30\pi$ dm$^3$
2. B. $100\pi$ dm$^3$
3. C. $300\pi$ dm$^3$
4. D. $1200\pi$ dm$^3$

1. (5p) La un concurs de reciclare, o clasă primește $3$ puncte pentru fiecare doză de aluminiu și $2$ puncte pentru fiecare sticlă de plastic predată. O clasă a predat în total $140$ de ambalaje, doze și sticle, și a obținut $335$ de puncte. a) ($2$p) Este posibil ca această clasă să fi predat $60$ de doze? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul sticlelor de plastic predate de clasă.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(3x+5)^2-(2x+1)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x+4)(5x+6)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că, pentru orice număr natural $n$, numărul $E(n)$ nu este prim.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x-4$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-2x+14$. a) ($2$p) Arată că punctul $A(3,8)$ aparține reprezentărilor geometrice ale graficelor ambelor funcții. b) ($3$p) Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctele $B$, respectiv $C$. Determină aria triunghiului $ABC$.

4. (5p) O grădină are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=24$ m și $AD=9$ m. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar aleile $AM$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $ADM$ este egală cu $54$ m$^2$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $ABP$.

5. (5p) Un iaz are forma unui disc cu centrul $O$ și raza de $9$ m. În jurul lui s-a amenajat o alee cu lățimea de $3$ m, mărginită de cercul de centru $O$ și rază $12$ m, ca în figura alăturată. Segmentul $AB$, cu capetele pe cercul exterior, atinge marginea iazului în punctul $T$ (dreapta $AB$ este tangentă cercului mic). a) ($2$p) Arată că aria aleii este egală cu $63\pi$ m$^2$. b) ($3$p) Arată că $AB=6\sqrt{7}$ m.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida hexagonală regulată $VABCDEF$, cu latura bazei de $5$ cm și muchia laterală $VA=10$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul muchiei $AB$. a) ($2$p) Arată că înălțimea piramidei este $VO=5\sqrt{3}$ cm. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VAB)$.