Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 64
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $(-3)\cdot 4-18:(-6)+2^3$ este egal cu:
2. (5p) O firmă transportă marfa dintr-un depozit cu $12$ camioane identice în $5$ zile. Dacă ar lucra în același ritm $15$ astfel de camioane, aceeași marfă ar fi transportată într-un număr de zile egal cu:
3. (5p) Un autocar are de parcurs un traseu de $240$ km. După ce a parcurs $\frac{3}{5}$ din traseu, distanța care i-a mai rămas de parcurs este egală cu:
4. (5p) Soluția pozitivă a ecuației $x^2+2x-35=0$ este egală cu:
5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Cristina și Dragoș, au calculat $\left(2\sqrt{5}-3\right)\left(2\sqrt{5}+3\right)$. Rezultatele obținute sunt: Ana $1$, Bogdan $29$, Cristina $-11$, Dragoș $11$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Într-o parcare se află $12$ autoturisme, $5$ autoutilitare și $3$ camioane. Afirmația „Dacă alegem la întâmplare unul dintre vehiculele din parcare, probabilitatea ca acesta să fie un camion este egală cu $\frac{1}{3}$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ reprezintă, în această ordine, trei stații de autobuz de pe un drum drept, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$. Distanța $AB$ este de $28$ km, iar distanța $MN$ este de $20$ km. Distanța dintre stațiile $B$ și $C$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $50^\circ$, iar măsura unghiului $MON$ este egală cu $65^\circ$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, în care $AD$ și $BE$ sunt mediane și se intersectează în punctul $G$. Lungimea segmentului $AG$ este de $14$ cm. Lungimea medianei $AD$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=16$ cm, $AD=6\sqrt{2}$ cm și măsura unghiului $DAB$ egală cu $45^\circ$. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$, respectiv $B$ la cercul de centru $O$. Lungimea segmentului $PA$ este de $12$ cm, iar măsura unghiului $APB$ este egală cu $60^\circ$. Lungimea coardei $AB$ este egală cu:
6. (5p) Cisterna unui camion are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $O'A=1{,}2$ m și lungimea (înălțimea cilindrului) $OO'=5$ m. Volumul cisternei este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Un camion transportă o cantitate de cherestea în trei zile. În prima zi transportă $\frac{2}{5}$ din cantitate, în a doua zi transportă $\frac{3}{4}$ din cantitatea rămasă, iar în a treia zi transportă ultimele $6$ tone. a) ($2$p) Este posibil ca întreaga cantitate să fie de $30$ de tone? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină întreaga cantitate de cherestea transportată.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}:\frac{x+3}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -3$, $x\neq -1$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}=\frac{x+1}{x-2}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele reale $a$ pentru care $E(a)=a+1$.
3. (5p) Rezervorul unui camion conține la plecare $360$ de litri de motorină. După ce camionul parcurge $x$ kilometri, în rezervor rămân $f(x)$ litri de motorină, unde $f:[0,1200]\to\mathbb{R}$, $f(x)=360-0{,}3x$. a) ($2$p) Arată că, după ce camionul parcurge $500$ km, în rezervor rămân $210$ litri de motorină. b) ($3$p) Șoferul trebuie să alimenteze când în rezervor au rămas cel mult $60$ de litri. Determină după câți kilometri parcurși trebuie să alimenteze, cel mai devreme.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat patrulaterul convex $ABCD$, ale cărui diagonale sunt perpendiculare, cu $AC=20$ cm și $BD=12$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$. a) ($2$p) Arată că perimetrul patrulaterului $MNPQ$ este egal cu $32$ cm. b) ($3$p) Arată că patrulaterul $MNPQ$ este dreptunghi și determină aria lui.
5. (5p) În figura alăturată, patrulaterul $ABCD$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $10$ cm, iar diagonala $AC$ este diametru al cercului. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu $30^\circ$, iar măsura unghiului $DAC$ este egală cu $45^\circ$. a) ($2$p) Arată că $BC=10$ cm. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $\left(100+50\sqrt{3}\right)$ cm$^2$.
6. (5p) O rampă de încărcare din beton are forma prismei drepte $ABCA'B'C'$ din figura alăturată, cu bazele triunghiurile dreptunghice $ABC$ și $A'B'C'$, $m(\sphericalangle ABC)=90^\circ$, $AB=2{,}4$ m, $BC=0{,}7$ m și $AA'=3$ m. Fața $ABB'A'$ stă pe sol, iar camioanele urcă pe fața $ACC'A'$. a) ($2$p) Arată că volumul rampei este egal cu $2{,}52$ m$^3$. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre planul $(ACC')$ și planul $(ABB')$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.