Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 65
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $120-4\cdot(25-3\cdot 6)+9$ este egal cu:
2. (5p) Pe o hartă rutieră realizată la scara $1:200\,000$, distanța dintre două localități este de $4{,}5$ cm. Distanța reală dintre cele două localități, măsurată în linie dreaptă, este egală cu:
3. (5p) Numărul $0{,}(81)$, scris ca fracție ireductibilă, este egal cu:
4. (5p) Descompunerea în factori a expresiei $x^2-8x+16-9y^2$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale, este:
5. (5p) Un camion a mers $2$ ore cu viteza de $60$ km/h și apoi $3$ ore cu viteza de $80$ km/h. Patru elevi, Ana, Bogdan, Cezar și Dora, au calculat viteza medie a camionului pe tot drumul și au obținut: Ana $70$ km/h, Bogdan $68$ km/h, Cezar $140$ km/h, Dora $72$ km/h. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Un curier a livrat în șase zile următoarele numere de colete: $18$, $25$, $22$, $30$, $25$ și $24$. Afirmația „În medie, curierul a livrat $24$ de colete pe zi.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ reprezintă o porțiune dreaptă de cale ferată. Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $D$ este mijlocul segmentului $CB$. Dacă $AD=30$ km, atunci lungimea segmentului $AB$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $B$ sunt coliniare, semidreapta $OC$ este de o parte a dreptei $AB$, iar semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOD$ este egală cu $125^\circ$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, în care $AD\perp BC$, $D\in BC$, $BD=3$ cm și $DC=12$ cm. Lungimea catetei $AB$ este egală cu:
4. (5p) O parcare pentru camioane are forma pătratului $ABCD$ din figura alăturată, cu diagonala $AC=30$ m. Aria parcării este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$ și rază $9$ cm, iar măsura unghiului $AOB$ este egală cu $80^\circ$. Lungimea arcului mic $AB$ este egală cu:
6. (5p) Un rezervor pentru gaz are forma sferei de centru $O$ din figura alăturată, cu diametrul $AB=10$ m. Aria suprafeței rezervorului este egală cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Într-un depozit, lăzile trebuie așezate pe paleți. Dacă pe fiecare palet se pun câte $12$ lăzi, rămân $20$ de lăzi neașezate. Dacă pe fiecare palet se pun câte $16$ lăzi, toate lăzile sunt așezate și rămân $2$ paleți goi. a) ($2$p) Este posibil ca în depozit să fie $10$ paleți? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul lăzilor din depozit.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{1}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$ și $x\neq 0$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -1$ și $x\neq 0$. b) ($3$p) Arată că $E(1)+E(2)+E(3)+\ldots+E(9)=\frac{9}{5}$.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, a cărei reprezentare geometrică a graficului conține punctele $A(-2,9)$ și $B(3,-6)$. a) ($2$p) Arată că $f(x)=-3x+3$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $AOB$, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale $xOy$.
4. (5p) Un teren are forma triunghiului $ABC$ din figura alăturată, cu $BC=18$ hm, iar drumul $MN$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$, este paralel cu latura $BC$. Se știe că $AM=8$ hm și $MB=4$ hm, iar aria terenului este de $81$ hm$^2$. a) ($2$p) Arată că lungimea drumului $MN$ este de $12$ hm. b) ($3$p) Determină aria porțiunii de teren cuprinse între drumul $MN$ și latura $BC$ (patrulaterul $MNCB$).
5. (5p) În figura alăturată, dreapta $PA$ este tangentă în punctul $A$ la cercul de centru $O$, iar dreapta $PO$ intersectează cercul în punctele $B$ și $C$, cu $B$ între $P$ și $O$. Se știe că $PA=3\sqrt{3}$ cm și $PB=3$ cm. a) ($2$p) Arată că raza cercului este egală cu $3$ cm. b) ($3$p) Arată că triunghiul $PAC$ este isoscel.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=10$ cm, $AD=4\sqrt{3}$ cm și $AA'=4$ cm. Punctul $H$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AD'$. a) ($2$p) Arată că unghiul dintre planul $(ABD')$ și planul $(ABC)$ are măsura de $30^\circ$. b) ($3$p) Arată că distanța de la punctul $D$ la planul $(ABD')$ este egală cu $2\sqrt{3}$ cm.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.