Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 66
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $5-2\cdot(-3)^2+18:(-6)$ este egal cu:
2. (5p) Un mozaic este format din $300$ de plăcuțe colorate, albastre și albe. Dintre plăcuțe, $60\%$ sunt albastre, iar celelalte sunt albe. Numărul plăcuțelor albe este egal cu:
3. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\left[-3,\sqrt{20}\right)\cap\mathbb{Z}$ este egal cu:
4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-4x-5=0$ este:
5. (5p) Patru elevi, Ioana, Matei, Sara și Victor, au calculat $\left(3\sqrt{2}-2\right)^2$. Rezultatele obținute sunt: Ioana $14$, Matei $22-12\sqrt{2}$, Sara $22-6\sqrt{2}$, Victor $10-12\sqrt{2}$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Pentru un lucru de mână, într-o cutie sunt $14$ nasturi roșii, $6$ nasturi verzi și $10$ nasturi albi, toți de aceeași formă și mărime. Se alege la întâmplare un nasture din cutie. Afirmația „Probabilitatea ca nasturele ales să fie verde este egală cu $0{,}2$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) O panglică $AD$, cu lungimea de $54$ cm, se taie în punctele $B$ și $C$ în trei bucăți, $AB$, $BC$ și $CD$, ale căror lungimi sunt direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $4$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul bucății $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul bucății $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:
2. (5p) O foaie de hârtie are forma pătratului $ABCD$. Foaia se pliază după dreapta $AE$, cu $E$ pe latura $BC$, astfel încât punctul $B$ ajunge în punctul $B'$ de pe diagonala $AC$, ca în figura alăturată. Măsura unghiului $AEB$ este egală cu:
3. (5p) Un ornament de lemn are forma triunghiului isoscel $ABC$ din figura alăturată, cu $AB=AC$, $m(\sphericalangle BAC)=120^\circ$ și $BC=24$ cm. Distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este egală cu:
4. (5p) O plăcuță de mozaic are forma rombului $ABCD$ din figura alăturată, cu latura de $53$ mm și diagonala $AC=56$ mm. Aria plăcuței este egală cu:
5. (5p) Pentru o rozetă, cercul de centru $O$ din figura alăturată a fost împărțit de $10$ puncte în $10$ arce congruente. Punctele $A$, $B$ și $C$ sunt trei dintre ele: între $A$ și $B$, ca și între $B$ și $C$, se află câte un singur punct marcat. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:
6. (5p) O lumânare decorativă, reprezentată în figura alăturată, este formată dintr-un cilindru circular drept cu raza bazei de $6$ cm și înălțimea de $8$ cm, peste care este așezată o semisferă cu raza de $6$ cm. Volumul lumânării este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Pentru un târg de Crăciun, Ioana a făcut $12$ brățări din mărgele, unele mici și altele mari. Pentru o brățară mică a folosit $18$ mărgele, iar pentru o brățară mare, $30$ de mărgele. În total, Ioana a folosit $324$ de mărgele. a) ($2$p) Este posibil ca Ioana să fi făcut câte $6$ brățări din fiecare fel? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină câte brățări mici a făcut Ioana.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+2x-15}{x^2-9}\cdot\frac{x+3}{x+7}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -7$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x+7}$, pentru orice $x$ număr real, $x\neq -7$, $x\neq -3$ și $x\neq 3$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{2}x-6$. a) ($2$p) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,3)$ aparține graficului funcției $f$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $B$ și axa $Oy$ în punctul $C$. Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale la dreapta $BC$.
4. (5p) Un afiș are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=50$ cm și $BC=40$ cm. Afișul se pliază astfel încât vârful $C$ să ajungă peste vârful $A$. Pliul este segmentul $EF$, cu $E$ pe latura $AB$ și $F$ pe latura $CD$. a) ($2$p) Arată că $AE=41$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea pliului $EF$.
5. (5p) Un vitraliu rotund are forma discului de centru $O$ și rază $12$ dm din figura alăturată. Pe cercul lui sunt vârfurile pătratului $ABCD$, din sticlă albă; restul vitraliului este din sticlă colorată. a) ($2$p) Arată că latura pătratului $ABCD$ are lungimea de $12\sqrt{2}$ dm. b) ($3$p) Arată că aria părții din sticlă colorată este egală cu $144(\pi-2)$ dm$^2$.
6. (5p) Un prespapier din sticlă are forma piramidei patrulatere regulate $VABCD$ din figura alăturată, cu baza $ABCD$, $AB=12$ cm și muchia laterală $VA=6\sqrt{5}$ cm. Punctul $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că aria totală a piramidei este egală cu $432$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(VBC)$ și planul bazei.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.