Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 68
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $2{,}4+0{,}6\cdot 1{,}5$ este egal cu:
2. (5p) O vază de ceramică pictată costa $240$ de lei. Prețul ei a crescut întâi cu $25\%$, apoi noul preț a scăzut cu $20\%$. Prețul final al vazei este egal cu:
3. (5p) Cel mai mic număr întreg $x$ care verifică inegalitatea $3x-7>2(x-5)$ este:
4. (5p) Produsul soluțiilor reale ale ecuației $3x^2-5x-2=0$ este egal cu:
5. (5p) Un atelier de pictură a cumpărat $6$ pensule cu $8$ lei bucata, $3$ pensule cu $12$ lei bucata și o pensulă cu $20$ de lei. Patru elevi, Andrei, Bianca, Cosmina și Dragoș, au calculat prețul mediu al unei pensule. Rezultatele obținute sunt: Andrei $\frac{40}{3}$ lei, Bianca $104$ lei, Cosmina $\frac{104}{3}$ lei, Dragoș $10{,}4$ lei. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Literele cuvântului MOZAIC, scrise cu majuscule de tipar, sunt decupate din carton și puse într-o cutie. Se extrage la întâmplare o literă. Afirmația „Probabilitatea ca litera extrasă să aibă cel puțin o axă de simetrie este egală cu $\frac{5}{6}$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Pe o riglă de croitorie sunt marcate punctele $A$ și $B$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $MB$, ca în figura alăturată. Știind că $AN=27$ cm, lungimea segmentului $AB$ este egală cu:
2. (5p) Într-un desen pentru o rozetă, semidreptele $OA$, $OB$, $OC$ și $OD$ din figura alăturată formează în jurul punctului $O$ unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$, fără puncte interioare comune, ale căror măsuri sunt direct proporționale cu numerele $2$, $3$, $5$ și $8$. Măsura celui mai mare dintre aceste unghiuri este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, în care măsura unghiului $ABC$ este de două ori mai mare decât măsura unghiului $ACB$. Punctul $E$ se află pe prelungirea laturii $CA$, dincolo de $A$, iar măsura unghiului $BAE$ este egală cu $114^\circ$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:
4. (5p) Un geam colorat dintr-un vitraliu are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu bazele $AB=24$ cm și $CD=10$ cm și laturile neparalele $AD=BC=25$ cm. Aria geamului este egală cu:
5. (5p) Un evantai de hârtie, deschis, are forma sectorului de cerc $AOB$ din figura alăturată, cu centrul $O$ și raza $OA=15$ cm, iar coarda $AB$ are lungimea de $15$ cm. Perimetrul evantaiului, format din razele $OA$ și $OB$ și arcul mic $AB$, este egal cu:
6. (5p) O bilă de lemn, de formă sferică, cu centrul $O$, este așezată într-o cutie în formă de cub cu muchia de $10$ cm și atinge toate fețele cutiei, ca în figura alăturată. Volumul spațiului liber rămas în cutie este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Un atelier de olărit are o cantitate de lut. În prima zi se folosește jumătate din lut și încă $2$ kg, a doua zi se folosește jumătate din lutul rămas și încă $1$ kg, iar a treia zi se folosesc ultimele $6$ kg de lut. a) ($2$p) Este posibil ca atelierul să fi avut la început $30$ kg de lut? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină cantitatea de lut pe care a avut-o atelierul la început.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{2x^2-8}{x^2+4x+4}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -2$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{2(x-2)}{x+2}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -2$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, astfel încât $f(2)=4$ și $f(4)=-2$. a) ($2$p) Arată că $f(x)=-3x+10$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Punctele $A(2,4)$ și $B(4,-2)$ aparțin graficului funcției $f$. Demonstrează că triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, unde $O$ este originea sistemului de axe ortogonale.
4. (5p) Un vitraliu are forma triunghiului $ABC$ din figura alăturată, cu $BC=21$ dm și aria de $196$ dm$^2$. O baghetă de plumb $DE$, cu $D\in AB$ și $E\in AC$, este paralelă cu $BC$, iar $AD=10$ dm și $DB=4$ dm. a) ($2$p) Arată că $DE=15$ dm. b) ($3$p) Determină aria trapezului $DBCE$.
5. (5p) Pe o plăcuță pătrată $ABCD$, cu latura de $8$ cm, este pictat un model: cu centrul în fiecare vârf al pătratului se trasează, în interiorul plăcuței, un sfert de cerc cu raza de $4$ cm, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că aria totală a celor patru sferturi de disc este egală cu $16\pi$ cm$^2$. b) ($3$p) Arată că aria părții plăcuței din afara celor patru sferturi de disc este mai mică decât un sfert din aria plăcuței.
6. (5p) Un suport pentru pensule are forma prismei triunghiulare regulate $ABCA'B'C'$ din figura alăturată, cu $AB=4\sqrt{3}$ cm și $AA'=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că aria totală a prismei este egală cu $96\sqrt{3}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BC)$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.