Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 69
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $2^5-3\cdot(14-4\cdot 3)$ este egal cu:
2. (5p) Mihai se gândește la un număr natural. Îl înmulțește cu $3$, adună $6$ la rezultat și obține $51$. Numărul la care s-a gândit Mihai este:
3. (5p) Pentru un joc de societate, Ioana are $72$ de jetoane roșii și $120$ de jetoane albastre. Ea le împarte în pachete la fel alcătuite (fiecare pachet are același număr de jetoane roșii și același număr de jetoane albastre), folosind toate jetoanele. Numărul maxim de pachete pe care le poate face Ioana este:
4. (5p) Soluția pozitivă a ecuației $x^2+2x=48$ este egală cu:
5. (5p) Se aruncă două zaruri obișnuite, unul roșu și unul albastru. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat probabilitatea ca suma numerelor apărute pe cele două zaruri să fie $10$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{1}{11}$, Bogdan $\frac{2}{21}$, Carmen $\frac{1}{18}$, Dan $\frac{1}{12}$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Punctajele obținute de șapte jucători la un joc de cuvinte sunt: $14$, $6$, $17$, $8$, $23$, $8$, $12$. Afirmația „Mediana punctajelor este egală cu $8$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AD=38$ cm, $AC=23$ cm și $BD=27$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ le intersectează în punctele $M$, respectiv $N$. Punctul $A$ aparține dreptei $a$, punctul $D$ aparține dreptei $b$, iar unghiurile $AMN$ și $MND$ sunt alterne interne, cu $m(\sphericalangle AMN)=(3x+31)^\circ$ și $m(\sphericalangle MND)=(5x-19)^\circ$. Măsura unghiului $AMN$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, iar $BE$ și $AD$ sunt mediane ale triunghiului, cu $E\in AC$ și $D\in BC$. Dacă $BG=16$ cm, atunci lungimea medianei $BE$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=10$ cm, $AC=12$ cm și $m(\sphericalangle BAC)=150^\circ$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată este reprezentată o roată a norocului, în formă de cerc împărțit în $10$ sectoare congruente. Punctele $A$ și $C$ sunt capete ale razelor care despart sectoarele, iar arcul mic $AC$ cuprinde exact $3$ sectoare. Punctul $B$ aparține arcului mare $AC$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o minge de joc în formă de sferă de centru $O$, cu diametrul de $18$ cm, iar $A$ este un punct al sferei. Volumul mingii este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) La un concurs de jocuri logice, fiecare răspuns corect aduce $4$ puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad $2$ puncte. Un concurent a răspuns la toate cele $24$ de întrebări ale concursului și a obținut în total $60$ de puncte. a) ($2$p) Este posibil ca acest concurent să fi răspuns corect la $16$ întrebări? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul întrebărilor la care concurentul a răspuns corect.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{x^2-2x}{x^2+2x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -1$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2(x+1)}{x(x-2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.
3. (5p) Într-un joc pe calculator, o navă se deplasează pe ecran în linie dreaptă, de-a lungul graficului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=5x-15$, desenat într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(4,5)$ aparține graficului funcției $f$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=21$ cm și $CD=6$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar aria triunghiului $AOB$ este egală cu $49$ cm$^2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{OA}{OC}=\frac{7}{2}$. b) ($3$p) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $81$ cm$^2$.
5. (5p) Două jetoane în formă de disc stau în picioare (pe muchie) pe o masă, unul lângă altul, ca în figura alăturată. Ele sunt reprezentate de cercul de centru $A$ și rază $9$ cm și cercul de centru $B$ și rază $2$ cm, tangente exterior, care ating masa (dreapta $MN$) în punctele $M$, respectiv $N$. a) ($2$p) Arată că $AB=11$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $MN$.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu bazele pătratele $ABCD$ și $A'B'C'D'$, $AB=20$ cm, $A'B'=8$ cm și înălțimea $OO'=6\sqrt{3}$ cm, unde $O$ și $O'$ sunt centrele bazelor. a) ($2$p) Arată că volumul trunchiului de piramidă este egal cu $1248\sqrt{3}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(BCC')$ și planul $(ABC)$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.