Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 70
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{1}{6}+\frac{4}{9}:\frac{2}{3}$ este egal cu:
2. (5p) Într-un joc, Andrei are $320$ de puncte. În prima rundă pierde $25\%$ din punctele sale, iar în a doua rundă câștigă $25\%$ din punctele pe care le avea după prima rundă. După cele două runde, numărul punctelor lui Andrei este egal cu:
3. (5p) Cel mai mare dintre numerele $5$, $\sqrt{26}$, $3\sqrt{3}$ și $2\sqrt{7}$ este:
4. (5p) Suma soluțiilor reale ale ecuației $|2x-3|=5$ este egală cu:
5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat $\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2$. Rezultatele obținute sunt: Ana $2$, Bogdan $8+2\sqrt{15}$, Carmen $8-\sqrt{15}$, Dan $8-2\sqrt{15}$. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Se aruncă o dată un zar obișnuit, cu fețele numerotate de la $1$ la $6$. Afirmația „Probabilitatea ca numărul apărut să fie divizor al lui $12$ este egală cu $\frac{2}{3}$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, un pion pornește din punctul $A$ și face trei salturi egale, de-a lungul unei drepte, ajungând pe rând în punctele $B$, $C$ și $D$, astfel încât $AB=BC=CD$ și $AD=33$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$. Lungimea segmentului $BM$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, măsura unghiului $AOB$ este egală cu $148^\circ$, semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $OD$, situată în interiorul unghiului $AOB$, este perpendiculară pe $OB$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, iar $AD\perp BC$, cu $D\in BC$. Dacă $AB=18$ cm și $BD=12$ cm, atunci lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=20$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DM=7$ cm. Aria triunghiului $ABM$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată este reprezentată o piesă de joc în formă de octogon regulat $ABCDEFGH$, în care este trasată diagonala $AC$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un pion de joc în formă de con circular drept, cu vârful $V$, raza bazei $OA=3$ cm și înălțimea $VO=7$ cm. Volumul pionului este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Doi frați au împreună $74$ de cartonașe cu fotbaliști. Dacă fratele mai mare i-ar da fratelui mai mic $9$ cartonașe, cei doi ar avea același număr de cartonașe. a) ($2$p) Este posibil ca fratele mai mare să aibă $45$ de cartonașe? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină câte cartonașe are fiecare frate.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}\cdot\frac{x-5}{x}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -5$, $x\neq 0$ și $x\neq 5$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ număr real, $x\neq -5$, $x\neq 0$ și $x\neq 5$. b) ($3$p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $E(x)=\frac{x}{2}$.
3. (5p) Într-un joc pe calculator, doi roboți se deplasează pe ecran de-a lungul graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x-5$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-3x+9$, desenate într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(2,3)$ aparține graficelor ambelor funcții. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Oy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină aria triunghiului $PAB$.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=16$ cm, $AD=8$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=60^\circ$. Bisectoarea unghiului $ADC$ intersectează latura $AB$ în punctul $E$. a) ($2$p) Arată că aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu $64\sqrt{3}$ cm$^2$. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $DE$ și $CE$ sunt perpendiculare.
5. (5p) Cadranul unui ceas este cercul de centru $O$ și rază $10$ cm din figura alăturată. Punctele $A$, $B$ și $C$ ale cercului marchează orele $12$, $3$, respectiv $5$. a) ($2$p) Arată că $AB=10\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $B$ la dreapta $AC$.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$. a) ($2$p) Arată că aria dreptunghiului $BDD'B'$ este egală cu $64\sqrt{2}$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $B'D$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.