Matematică

1. (5p) Într-o zi de iarnă, la răsăritul soarelui, termometrul de la o cabană de munte arăta $-6$ grade Celsius. Până după-amiază, temperatura a urcat cu $13$ grade, iar până la miezul nopții a coborât cu $10$ grade. La miezul nopții, termometrul arăta un număr de grade Celsius egal cu:

1. A. $-29$
2. B. $-3$
3. C. $9$
4. D. $17$

2. (5p) Un bilet la telecabina care urcă spre vârful muntelui costă $45$ de lei. Elevii primesc o reducere de $20\%$ din prețul biletului. Un elev plătește pentru bilet:

1. A. $9$ lei
2. B. $25$ lei
3. C. $36$ lei
4. D. $54$ lei

3. (5p) Soluția pozitivă a ecuației $x^2=8x+33$ este egală cu:

1. A. $3$
2. B. $7$
3. C. $11$
4. D. $41$

4. (5p) Rezultatul calculului $\sqrt{147}-\sqrt{3}+\sqrt{75}$ este egal cu:

1. A. $\sqrt{219}$
2. B. $11\sqrt{3}$
3. C. $12+5\sqrt{3}$
4. D. $13\sqrt{3}$

5. (5p) Pe o hartă turistică realizată la scara $1:60000$, distanța dintre o cabană și un lac de munte este de $7{,}5$ cm. Patru elevi au calculat distanța reală dintre cabană și lac și au obținut: Ana $45$ km, Bogdan $450$ km, Carmen $0{,}45$ km, Dan $4{,}5$ km. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Altitudinile a patru vârfuri pe care le-a urcat un grup de turiști sunt: $2140$ m, $2385$ m, $2210$ m și $2465$ m. Afirmația „Media aritmetică a celor patru altitudini este egală cu $2300$ m.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Un traseu turistic drept trece, în această ordine, prin punctele $A$, $B$ și $C$, ca în figura alăturată, cu $AB=4{,}6$ km și $BC=3{,}2$ km. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Distanța $MN$ este egală cu:

1. A. $0{,}7$ km
2. B. $1{,}4$ km
3. C. $2{,}3$ km
4. D. $3{,}9$ km

2. (5p) Frontonul unei cabane (partea triunghiulară a peretelui din față, de sub acoperiș) are forma triunghiului isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, reprezentat în figura alăturată. Dacă $m(\sphericalangle BAC)=46^\circ$, atunci măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $23^\circ$
2. B. $67^\circ$
3. C. $92^\circ$
4. D. $134^\circ$

3. (5p) Un drum drept urcă de la cabana $A$ până la vârful $B$, ca în figura alăturată. Lungimea drumului este $AB=650$ m, iar vârful se află cu $BC=250$ m mai sus decât cabana, unde punctul $C$ este la nivelul cabanei și $BC\perp AC$. Distanța pe orizontală $AC$ este egală cu:

1. A. $400$ m
2. B. $600$ m
3. C. $50\sqrt{194}$ m
4. D. $900$ m

4. (5p) Locul de campare de lângă un lac de munte are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=22$ m, $AD=14$ m și $m(\sphericalangle BAD)=45^\circ$. Aria locului de campare este egală cu:

1. A. $77\sqrt{2}$ m$^2$
2. B. $154$ m$^2$
3. C. $154\sqrt{2}$ m$^2$
4. D. $308$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreapta $AT$ este tangentă în punctul $A$ la cercul de centru $O$, iar punctul $C$ aparține cercului, astfel încât $m(\sphericalangle TAC)=64^\circ$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu:

1. A. $32^\circ$
2. B. $64^\circ$
3. C. $116^\circ$
4. D. $128^\circ$

6. (5p) Lângă o cabană se află un morman de pietriș în formă de con circular drept, reprezentat în figura alăturată, cu diametrul bazei $AB=14$ dm și înălțimea $VO=12$ dm. Volumul mormanului de pietriș este egal cu:

1. A. $196\pi$ dm$^3$
2. B. $588\pi$ dm$^3$
3. C. $784\pi$ dm$^3$
4. D. $2352\pi$ dm$^3$

1. (5p) O cabană de munte are $23$ de camere: unele camere au câte $2$ paturi, iar celelalte au câte $4$ paturi. În total, în cabană sunt $70$ de paturi. a) ($2$p) Este posibil ca în cabană să fie $12$ camere cu câte $2$ paturi? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul camerelor cu câte $2$ paturi.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x+4}\right)\cdot\frac{2x+8}{x^2+16}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x+4}=\frac{x^2+16}{x^2-16}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -4$ și $x\neq 4$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$, $n\neq 4$, pentru care $E(n)\geq\frac{1}{3}$.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=18-6x$. Într-o zi de vară, pe un munte, temperatura aerului la altitudinea de $x$ km este de $f(x)$ grade Celsius, pentru $0\leq x\leq 3$. a) ($2$p) Arată că, în acea zi, la altitudinea de $2{,}5$ km temperatura aerului era de $3$ grade Celsius. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină perimetrul triunghiului $AOB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria egală cu $180$ cm$^2$. Punctul $M$ aparține laturii $BC$, astfel încât $BM=2\cdot MC$, iar dreapta $AM$ intersectează diagonala $BD$ în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că $BP=\frac{2}{5}\cdot BD$. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $PMC$ este egală cu $12$ cm$^2$.

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și rază $9$ cm. Coarda $AB$ are lungimea de $14$ cm, iar $M$ este mijlocul ei. Tangentele la cerc în punctele $A$ și $B$ se intersectează în punctul $T$. a) ($2$p) Arată că distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este egală cu $4\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $TA$.

6. (5p) Un cort are forma piramidei patrulatere regulate $VABCD$ din figura alăturată, cu baza $ABCD$ pe sol, latura bazei $AB=24$ dm și înălțimea de $12$ dm. Fețele laterale ale piramidei sunt din pânză, iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$. a) ($2$p) Arată că aria pânzei din care sunt făcute fețele laterale ale cortului este egală cu $576\sqrt{2}$ dm$^2$. b) ($3$p) Arată că planele $(VAB)$ și $(VCD)$ sunt perpendiculare.