Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $5\cdot 4^2-(3^4-7\cdot 9)$ este egal cu:

1. A. $22$
2. B. $62$
3. C. $131$
4. D. $382$

2. (5p) Într-un grup de $56$ de excursioniști, raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\frac{3}{4}$. Numărul fetelor din grup este egal cu:

1. A. $8$
2. B. $24$
3. C. $32$
4. D. $42$

3. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2-11x+12=0$ este:

1. A. $\left\{\frac{3}{2},4\right\}$
2. B. $\left\{-4,-\frac{3}{2}\right\}$
3. C. $\{3,8\}$
4. D. $\{6,16\}$

4. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |2x+3|\leq 9\}$ este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $8$
3. C. $9$
4. D. $10$

5. (5p) În rucsacul lui Andrei sunt $7$ batoane cu ciocolată, $3$ batoane cu cereale și $8$ batoane cu fructe. În pauza de pe traseu, Andrei scoate la întâmplare un baton. Patru elevi au calculat probabilitatea ca batonul scos să nu fie cu ciocolată și au obținut: Ana $\frac{7}{18}$, Bogdan $\frac{2}{3}$, Carmen $\frac{11}{18}$, Dan $\frac{11}{7}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Pentru orice număr real $a$, $(a-3)^2=a^2-9$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) Stațiile $A$, $B$ și $C$ ale unui teleschi se află pe o dreaptă, în această ordine, ca în figura alăturată. Distanța $AC$ este de $1060$ m, iar distanța $BC$ este cu $140$ m mai mare decât distanța $AB$. Distanța $AB$ este egală cu:

1. A. $460$ m
2. B. $530$ m
3. C. $600$ m
4. D. $920$ m

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente și complementare, iar măsura unghiului $AOB$ este cu $10^\circ$ mai mică decât de patru ori măsura unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $20^\circ$
2. B. $70^\circ$
3. C. $80^\circ$
4. D. $142^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, iar punctul $D$ se află pe semidreapta $BC$, după $C$. Dacă $m(\sphericalangle BAC)=47^\circ$ și $m(\sphericalangle ACD)=124^\circ$, atunci măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $56^\circ$
2. B. $77^\circ$
3. C. $103^\circ$
4. D. $171^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=34$ cm și $CD=14$ cm, ale cărui diagonale $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $240$ cm$^2$
2. B. $288$ cm$^2$
3. C. $576$ cm$^2$
4. D. $1152$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ se află, în această ordine, pe un cerc, iar coardele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. Arcul mic $AB$ are $84^\circ$, iar arcul mic $CD$ are $46^\circ$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

1. A. $19^\circ$
2. B. $38^\circ$
3. C. $65^\circ$
4. D. $130^\circ$

6. (5p) Un termos are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu raza bazei $OA=3{,}5$ cm și înălțimea $OO'=20$ cm. Volumul cilindrului este egal cu:

1. A. $70\pi$ cm$^3$
2. B. $140\pi$ cm$^3$
3. C. $245\pi$ cm$^3$
4. D. $980\pi$ cm$^3$

1. (5p) Un turist urcă pe un traseu de la cabană până la vârful muntelui cu viteza constantă de $2$ km/h, apoi coboară pe același traseu cu viteza constantă de $5$ km/h. Urcarea și coborârea au durat, împreună, $4$ ore și $54$ de minute. a) ($2$p) Este posibil ca traseul să aibă lungimea de $5$ km? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină lungimea traseului.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+3)^2-(x-1)(x+1)-2(x+4)$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=4x+2$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că, pentru orice număr natural $n$, numărul $E(n)$ nu este pătratul unui număr natural.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, astfel încât $f(1)=4$ și $f(3)=-2$. a) ($2$p) Arată că $a=-3$ și $b=7$. b) ($3$p) Determină punctele graficului funcției $f$ care au ambele coordonate numere naturale.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria de $96$ cm$^2$. Punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$, iar punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$. a) ($2$p) Arată că dreptele $EF$ și $BD$ sunt paralele. b) ($3$p) Arată că aria triunghiului $AEF$ este egală cu $36$ cm$^2$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, cu $AB=10$ cm. Punctul $C$ aparține tangentei la cerc în punctul $B$, astfel încât $BC=5$ cm, iar segmentul $AC$ intersectează cercul în punctul $D$. a) ($2$p) Arată că $AC=5\sqrt{5}$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $AD$.

6. (5p) Un suvenir cumpărat de la o cabană are forma conului circular drept din figura alăturată, cu vârful $V$, centrul bazei $O$, raza bazei de $9$ cm și înălțimea $VO=6$ cm. Punctele $A$ și $B$ aparțin cercului bazei, cu $AB=6\sqrt{5}$ cm, iar $M$ este mijlocul coardei $AB$. a) ($2$p) Arată că volumul conului este egal cu $162\pi$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină măsura unghiului dintre planul $(VAB)$ și planul bazei conului.