Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $2{,}4+1{,}6:0{,}4$ este egal cu:

1. A. $2{,}8$
2. B. $6{,}4$
3. C. $10$
4. D. $42{,}4$

2. (5p) Într-o seară, la o cabană de munte sunt cazați $32$ de turiști, dintre care $8$ sunt copii. Copiii reprezintă din numărul turiștilor:

1. A. $8\%$
2. B. $25\%$
3. C. $75\%$
4. D. $400\%$

3. (5p) Într-o tabără de munte sunt între $100$ și $200$ de elevi. Dacă ei se grupează câte $9$, câte $12$ sau câte $15$, de fiecare dată rămân $5$ elevi negrupați. Numărul elevilor din tabără este:

1. A. $175$
2. B. $180$
3. C. $185$
4. D. $1625$

4. (5p) Numărul numerelor întregi care aparțin intervalului $\left[-\sqrt{7},\sqrt{17}\right)$ este egal cu:

1. A. $5$
2. B. $6$
3. C. $7$
4. D. $8$

5. (5p) Patru elevi au calculat $\frac{10}{\sqrt{2}}+\sqrt{18}$ și au obținut: Ana $8\sqrt{2}$, Bogdan $5+3\sqrt{2}$, Carmen $13\sqrt{2}$, Dan $9+5\sqrt{2}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Fiecare dintre cei $50$ de elevi ai unei tabere primește un ecuson cu un număr de la $1$ la $50$, numere diferite. Se alege la întâmplare un elev. Afirmația „Probabilitatea ca numărul de pe ecusonul elevului ales să fie divizibil atât cu $4$, cât și cu $6$ este egală cu $\frac{1}{25}$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, semidreptele $OA$ și $OD$ sunt opuse, iar punctele $B$ și $C$ sunt de aceeași parte a dreptei $AD$, astfel încât $m(\sphericalangle AOB)=3x$, $m(\sphericalangle BOC)=2x+15^\circ$ și $m(\sphericalangle COD)=x+3^\circ$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. A. $27^\circ$
2. B. $69^\circ$
3. C. $81^\circ$
4. D. $129^\circ$

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=62^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=36^\circ$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$, cu $D\in BC$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $41^\circ$
2. B. $77^\circ$
3. C. $98^\circ$
4. D. $103^\circ$

3. (5p) Un drum de munte urcă în linie dreaptă de la punctul $A$ la punctul $B$, ca în figura alăturată, unde $C$ se află la nivelul lui $A$ și $BC\perp AC$. Pe un indicator scrie că panta drumului este de $24\%$, adică $\operatorname{tg}(\sphericalangle BAC)=0{,}24$. Dacă distanța pe orizontală este $AC=250$ m, atunci diferența de nivel $BC$ dintre punctele $A$ și $B$ este egală cu:

1. A. $6$ m
2. B. $24$ m
3. C. $60$ m
4. D. $600$ m

4. (5p) Un panou de la intrarea pe un traseu turistic are forma rombului $ABCD$ din figura alăturată, cu diagonalele $AC=24$ dm și $BD=15$ dm. Aria panoului este egală cu:

1. A. $39$ dm$^2$
2. B. $90$ dm$^2$
3. C. $180$ dm$^2$
4. D. $360$ dm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, pătratul $ABCD$, cu latura de $6\sqrt{2}$ cm, este înscris în cerc. Aria discului determinat de acest cerc este egală cu:

1. A. $12\pi$ cm$^2$
2. B. $36\pi$ cm$^2$
3. C. $72\pi$ cm$^2$
4. D. $144\pi$ cm$^2$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu toate muchiile de $14$ cm, $O$ centrul bazei și $M$ mijlocul muchiei $BC$. Tangenta unghiului dintre planele $(VBC)$ și $(ABC)$ este egală cu:

1. A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
2. B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. C. $1$
4. D. $\sqrt{2}$

1. (5p) Elevii unei tabere de munte sunt cazați într-o cabană. Dacă în fiecare cameră se cazează câte $3$ elevi, rămân $5$ elevi fără loc. Dacă în fiecare cameră se cazează câte $5$ elevi, toți elevii au loc și rămân $3$ camere goale. a) ($2$p) Este posibil ca în tabără să fie $32$ de elevi? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul elevilor din tabără.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+14x+49}{x^2-49}\cdot\frac{x^2-7x}{x+7}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -7$ și $x\neq 7$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x^2+14x+49}{x^2-49}=\frac{x+7}{x-7}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -7$ și $x\neq 7$. b) ($3$p) Determină numărul real $a$ pentru care $E(a)=a^2-56$.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x+3$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=11-x$. a) ($2$p) Arată că graficele funcțiilor $f$ și $g$ se intersectează în punctul $P(2,9)$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$, iar graficul funcției $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $PAB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=25$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=5$ cm. a) ($2$p) Arată că dreptele $AE$ și $BE$ sunt perpendiculare. b) ($3$p) Determină sinusul unghiului $EAB$.

5. (5p) În figura alăturată, punctul $P$ se află în exteriorul unui cerc de centru $O$ și rază $9$ cm, iar $PA$ și $PB$ sunt tangentele duse din $P$ la cerc, cu $A$ și $B$ pe cerc, astfel încât $PA=9$ cm. Segmentul $OP$ intersectează cercul în punctul $Q$. a) ($2$p) Arată că $m(\sphericalangle APB)=90^\circ$. b) ($3$p) Arată că $PQ=9(\sqrt{2}-1)$ cm.

6. (5p) Pe vârful unui munte se află un marcaj în formă de piramidă triunghiulară regulată $VABC$, reprezentată în figura alăturată, cu latura bazei $AB=6\sqrt{3}$ dm și înălțimea $VO=6$ dm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $54\sqrt{3}$ dm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(VBC)$.