Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3^4-6\cdot(50:5-4)$ este egal cu:

1. A. $17$
2. B. $28$
3. C. $45$
4. D. $450$

2. (5p) Un bilet la teatru costă $120$ de lei, iar elevii primesc o reducere de $10\%$ din prețul biletului. Un grup de $5$ elevi plătește pentru biletele lor, în total:

1. A. $60$ de lei
2. B. $108$ lei
3. C. $540$ de lei
4. D. $550$ de lei

3. (5p) Rezultatul calculului $\sqrt{200}-\sqrt{72}+\sqrt{50}$ este egal cu:

1. A. $-\sqrt{2}$
2. B. $9\sqrt{2}$
3. C. $\sqrt{178}$
4. D. $21\sqrt{2}$

4. (5p) Cea mai mare dintre soluțiile ecuației $x^2=6x+27$ este:

1. A. $-3$
2. B. $3$
3. C. $6$
4. D. $9$

5. (5p) Locurile de pe un rând al sălii unui teatru sunt numerotate de la $1$ la $40$. Un spectator primește, la întâmplare, un bilet pentru unul dintre aceste locuri. Patru elevi au calculat probabilitatea ca numărul locului să fie multiplu de $6$. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{3}{20}$, Bogdan $\frac{1}{6}$, Carmen $\frac{7}{40}$, Dan $\frac{3}{17}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) La cinci reprezentații ale unei piese de teatru au venit $212$, $245$, $198$, $230$, respectiv $240$ de spectatori. Afirmația „Media aritmetică a numărului de spectatori la cele cinci reprezentații este egală cu $225$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Dacă $AB=14$ cm și $MN=11$ cm, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $8$ cm
3. C. $18$ cm
4. D. $22$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Dacă măsura unghiului $MOB$ este de trei ori mai mare decât măsura unghiului $BON$, atunci măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $22^\circ 30'$
2. B. $45^\circ$
3. C. $67^\circ 30'$
4. D. $135^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=18$ cm, $AC=22$ cm și $BC=24$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$. Perimetrul patrulaterului $BMNC$ este egal cu:

1. A. $32$ cm
2. B. $56$ cm
3. C. $64$ cm
4. D. $68$ cm

4. (5p) Scena unui teatru are forma trapezului isoscel $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB\parallel CD$, $AB=22$ m, $CD=8$ m și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria scenei este egală cu:

1. A. $105$ m$^2$
2. B. $105\sqrt{2}$ m$^2$
3. C. $154$ m$^2$
4. D. $210$ m$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente în punctele $A$, respectiv $B$ la cercul de centru $O$, iar $m(\sphericalangle APB)=48^\circ$. Punctul $C$ aparține arcului mare $AB$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

1. A. $24^\circ$
2. B. $48^\circ$
3. C. $66^\circ$
4. D. $132^\circ$

6. (5p) O cutie pentru reflectoarele scenei are forma prismei patrulatere regulate $ABCDA'B'C'D'$ din figura alăturată, cu $AB=7$ cm și $AA'=12$ cm. Aria secțiunii diagonale $ACC'A'$ este egală cu:

1. A. $84$ cm$^2$
2. B. $84\sqrt{2}$ cm$^2$
3. C. $168$ cm$^2$
4. D. $336$ cm$^2$

1. (5p) La casa de bilete a unui teatru s-au vândut, pentru o reprezentație, $240$ de bilete: unele cu prețul de $50$ de lei și celelalte cu prețul de $35$ de lei. Suma încasată din vânzarea acestor bilete a fost de $10\,200$ de lei. a) ($2$p) Este posibil să se fi vândut $100$ de bilete cu prețul de $50$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul biletelor vândute cu prețul de $50$ de lei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+5}{x-5}-\frac{x-5}{x+5}\right)\cdot\frac{x^2-25}{4x^2+20x}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -5$, $x\neq 0$ și $x\neq 5$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x+5}{x-5}-\frac{x-5}{x+5}=\frac{20x}{x^2-25}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -5$ și $x\neq 5$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-x+8$. a) ($2$p) Arată că punctul $M(3,5)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la graficul funcției $g$.

4. (5p) Afișul unui spectacol are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=20$ dm și $BC=10$ dm. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=5$ dm, iar dreptele $AE$ și $BD$ se intersectează în punctul $F$. a) ($2$p) Arată că $BF=4\cdot DF$. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $BCEF$ este egală cu $95$ dm$^2$.

5. (5p) Rozeta de deasupra intrării unui teatru are forma unui disc cu centrul $O$ și raza $7\sqrt{2}$ dm. În ea este încadrat un vitraliu în formă de pătrat $ABCD$, cu vârfurile pe cercul de centru $O$, ca în figura alăturată. a) ($2$p) Arată că latura pătratului $ABCD$ are lungimea de $14$ dm. b) ($3$p) Determină aria suprafeței rozetei situate în afara pătratului $ABCD$.

6. (5p) Coloana de afișe din fața unui teatru are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu centrele bazelor $O$ și $O'$, raza bazei $OA=6$ dm și înălțimea $OO'=15$ dm. Punctele $A$ și $B$ aparțin cercului bazei inferioare, cu $AB=6\sqrt{3}$ dm, iar $M$ este mijlocul segmentului $AB$. a) ($2$p) Arată că volumul cilindrului este egal cu $540\pi$ dm$^3$. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre planul $(O'AB)$ și planul bazei inferioare.