Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $\frac{7}{8}-\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4}$ este egal cu:

1. A. $\frac{17}{32}$
2. B. $\frac{47}{72}$
3. C. $\frac{17}{24}$
4. D. $\frac{3}{4}$

2. (5p) La o proiecție de film s-au vândut $200$ de bilete, unele cu preț redus și celelalte cu preț întreg. Raportul dintre numărul biletelor cu preț redus și numărul biletelor cu preț întreg este $\frac{3}{5}$. Numărul biletelor cu preț redus este egal cu:

1. A. $25$
2. B. $75$
3. C. $120$
4. D. $125$

3. (5p) Numărul numerelor întregi $x$ care verifică inegalitatea $|x-2|\leq 5$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $8$
3. C. $10$
4. D. $11$

4. (5p) Cel mai mare număr natural $x$ pentru care $3(x-2)<x+9$ este:

1. A. $5$
2. B. $7$
3. C. $8$
4. D. $15$

5. (5p) La un festival participă $36$ de filme scurte, numerotate de la $1$ la $36$ în ordinea înscrierii. Juriul alege la întâmplare filmul care deschide festivalul. Patru elevi au calculat probabilitatea ca numărul filmului ales să fie un număr prim. Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{11}{36}$, Bogdan $\frac{1}{3}$, Carmen $\frac{5}{18}$, Dan $\frac{11}{25}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Numărul $\left(2\sqrt{3}+3\right)\left(2\sqrt{3}-3\right)$ este un număr irațional.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{5}=\frac{CD}{3}$ și $AD=40$ cm. Lungimea segmentului $BD$ este egală cu:

1. A. $12$ cm
2. B. $20$ cm
3. C. $28$ cm
4. D. $32$ cm

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=48^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=70^\circ$. Bisectoarea unghiului $BAC$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$. Măsura unghiului $ADB$ este egală cu:

1. A. $31^\circ$
2. B. $62^\circ$
3. C. $79^\circ$
4. D. $101^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $\operatorname{tg}B=\frac{3}{2}$. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

1. A. $2\sqrt{13}$ cm
2. B. $9$ cm
3. C. $3\sqrt{13}$ cm
4. D. $15$ cm

4. (5p) Un panou publicitar al unui cinematograf are forma paralelogramului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=11$ dm, $AD=8$ dm și $m(\sphericalangle BAD)=60^\circ$. Aria panoului este egală cu:

1. A. $22\sqrt{3}$ dm$^2$
2. B. $44$ dm$^2$
3. C. $44\sqrt{3}$ dm$^2$
4. D. $88$ dm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului de centru $O$, iar măsura unghiului $ABC$ este cu $54^\circ$ mai mare decât măsura unghiului $ADC$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

1. A. $54^\circ$
2. B. $63^\circ$
3. C. $117^\circ$
4. D. $126^\circ$

6. (5p) O găleată pentru floricele de porumb are forma cilindrului circular drept din figura alăturată, cu centrele bazelor $O$ și $O'$. Secțiunea axială $ABB'A'$ a cilindrului este un pătrat cu aria de $196$ cm$^2$. Volumul cilindrului este egal cu:

1. A. $196\pi$ cm$^3$
2. B. $\frac{686\pi}{3}$ cm$^3$
3. C. $686\pi$ cm$^3$
4. D. $2744\pi$ cm$^3$

1. (5p) Într-o sală de cinema, primul rând are $10$ locuri, iar fiecare dintre celelalte rânduri are cu $2$ locuri mai mult decât rândul din fața lui. În total, sala are $190$ de locuri. a) ($2$p) Este posibil ca sala să aibă $12$ rânduri? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul rândurilor din sală.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+4)^2-2(x+4)(x-1)+(x-1)^2-x^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $(x+4)^2-2(x+4)(x-1)+(x-1)^2=25$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este pătratul unui număr natural.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax-15$, unde $a$ este un număr real, astfel încât $f(2)=-9$. a) ($2$p) Arată că $a=3$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe la dreapta $AB$.

4. (5p) Ecranul unei săli de cinema are forma dreptunghiului $ABCD$ din figura alăturată, cu $AB=20$ m și $BC=6$ m. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=2$ m. a) ($2$p) Arată că $AE=2\sqrt{10}$ m. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $AE$ și $BE$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, cu $AB=12$ cm. Dreapta $BC$ este tangentă în punctul $B$ la cerc, cu $BC=9$ cm, iar segmentul $AC$ intersectează cercul a doua oară în punctul $D$. a) ($2$p) Arată că $AC=15$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $BD$.

6. (5p) O cutie pentru o rolă de film are forma prismei patrulatere regulate $ABCDA'B'C'D'$ din figura alăturată, cu $AB=18$ cm și $AA'=9$ cm. Punctul $O'$ este centrul pătratului $A'B'C'D'$. a) ($2$p) Arată că aria totală a prismei este egală cu $1296$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $B'$ la planul $(A'BC')$.