Model de lucrare pentru Evaluarea Națională — clasa a VIII-a
Matematică
Evaluarea Națională — model 77
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
Numele și prenumele: Data:
SUBIECTUL I Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) Rezultatul calculului $7\cdot 8-64:4:2$ este egal cu:
2. (5p) Numărul elementelor mulțimii $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |2x+1|\le 7\}$ este egal cu:
3. (5p) La o bicicletă, roata dințată a pedalelor are $48$ de dinți, iar pinionul, fixat pe roata din spate, are $16$ dinți. Când lanțul se mișcă, pe roata dințată a pedalelor și pe pinion trec, în același timp, tot atâția dinți. Când pedalele fac $27$ de rotații complete, numărul de rotații complete ale roții din spate este:
4. (5p) Cea mai mare dintre soluțiile ecuației $2x^2-5x-12=0$ este egală cu:
5. (5p) Roata unei biciclete are diametrul de $64$ cm. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat distanța parcursă de bicicletă când roata face $25$ de rotații complete, fără să alunece. Rezultatele obținute sunt: Ana $8\pi$ m, Bogdan $32\pi$ m, Carmen $160\pi$ m, Dan $16\pi$ m. Rezultatul corect a fost obținut de:
6. (5p) Într-un magazin de biciclete sunt $8$ biciclete roșii, $12$ biciclete albastre, $7$ biciclete negre și $5$ biciclete albe. Se alege la întâmplare una dintre aceste biciclete. Afirmația „Probabilitatea ca bicicleta aleasă să fie roșie este egală cu $0{,}25$.” este:
SUBIECTUL al II-lea Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=27$ cm, $BD=32$ cm și $AD=41$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
2. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare, iar unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, cu $m(\sphericalangle AOB)=128^\circ$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOE$ este egală cu:
3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, $m(\sphericalangle BAC)=120^\circ$ și $BC=18$ cm. Punctul $D$ este piciorul înălțimii din $A$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu $AB=18$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:
5. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ împart cercul în trei arce, $AB$, $BC$ și $CA$, ale căror măsuri sunt direct proporționale cu numerele $2$, $5$ și $8$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o sferă de centru $O$, iar $A$ este un punct al sferei. Aria sferei este egală cu $484\pi$ cm$^2$. Volumul sferei este egal cu:
SUBIECTUL al III-lea Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. (5p) Într-un magazin de biciclete, prețul unei biciclete a scăzut cu $10\%$, iar apoi noul preț a scăzut cu $20\%$. După cele două reduceri, bicicleta costă $1440$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca prețul inițial al bicicletei să fi fost $1600$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină prețul inițial al bicicletei.
2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}-\frac{3}{x-5}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -5$ și $x\neq 5$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+2}{x-5}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -5$ și $x\neq 5$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.
3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x+6$. a) ($2$p) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $M(a,2a)$ aparține graficului funcției $f$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină distanța de la originea $O$ a sistemului de axe la dreapta $AB$.
4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=22$ cm și $BC=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar dreptele $AM$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că aria triunghiului $ABM$ este egală cu $165$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $APB$.
5. (5p) Lanțul unei biciclete trece peste roata dințată a pedalelor și peste pinionul roții din spate, reprezentate în figura alăturată prin cercul de centru $O$ și rază $10$ cm, respectiv prin cercul de centru $Q$ și rază $4$ cm, unde $OQ=42$ cm. Porțiunea dreaptă $MN$ a lanțului este tangentă comună exterioară celor două cercuri, în punctele $M$, respectiv $N$. Segmentul $OQ$ intersectează cele două cercuri în punctele $E$, respectiv $F$. a) ($2$p) Arată că $EF=28$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $MN$.
6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$ de centru $O$, $AB=18$ cm și înălțimea $VO=15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul piramidei este egal cu $1620$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină tangenta unghiului dintre planul $(VBC)$ și planul $(ABC)$.
Model de lucrare de pe Lykeion, în formatul Evaluării Naționale; nu este un subiect oficial.