Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $10^2-4\cdot 3^2+5$ este egal cu:

1. A. $-39$
2. B. $59$
3. C. $69$
4. D. $81$

2. (5p) După o reducere de $10\%$, o bicicletă costă $1350$ de lei. Prețul bicicletei înainte de reducere era:

1. A. $1215$ lei
2. B. $1360$ lei
3. C. $1485$ lei
4. D. $1500$ lei

3. (5p) Doi cicliști pornesc în același moment din dreptul liniei de sosire a unui velodrom și pedalează în același sens, fiecare cu viteză constantă. Primul face un tur de pistă în $48$ de secunde, iar al doilea în $84$ de secunde. Prima dată după plecare când trec în același moment prin dreptul liniei de sosire este după un număr de secunde egal cu:

1. A. $12$
2. B. $132$
3. C. $336$
4. D. $4032$

4. (5p) Rezultatul calculului $\left(4\sqrt{3}-5\right)\left(4\sqrt{3}+5\right)$ este egal cu:

1. A. $-13$
2. B. $23$
3. C. $43$
4. D. $73$

5. (5p) Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au rezolvat în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2=13x$. Ana a obținut soluțiile $0$ și $13$, Bogdan doar soluția $13$, Carmen soluțiile $-13$ și $13$, iar Dan soluțiile $0$ și $-13$. Mulțimea soluțiilor ecuației a fost obținută corect de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Media geometrică a numerelor $20$ și $45$ este egală cu $32{,}5$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=22$ cm și $BC=14$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $4$ cm
2. B. $8$ cm
3. C. $18$ cm
4. D. $36$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AP$ și $BQ$ sunt paralele, iar punctele $A$ și $B$ sunt de aceeași parte a dreptei $PQ$. Măsurile unghiurilor sunt $m(\sphericalangle APQ)=(2x+34)^\circ$ și $m(\sphericalangle BQP)=(4x-10)^\circ$. Măsura unghiului $BQP$ este egală cu:

1. A. $26^\circ$
2. B. $78^\circ$
3. C. $86^\circ$
4. D. $94^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $m(\sphericalangle ABC)=66^\circ$ și $m(\sphericalangle ACB)=42^\circ$. Bisectoarea unghiului $BAC$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

1. A. $36^\circ$
2. B. $66^\circ$
3. C. $78^\circ$
4. D. $102^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=30$ cm, $CD=14$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $176$ cm$^2$
2. B. $240$ cm$^2$
3. C. $176\sqrt{2}$ cm$^2$
4. D. $352$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente cercului de centru $O$ în punctele $A$, respectiv $B$, iar $m(\sphericalangle APB)=46^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $23^\circ$
2. B. $46^\circ$
3. C. $92^\circ$
4. D. $134^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu muchia de $16$ cm, și o sferă care atinge toate cele șase fețe ale cubului. Volumul sferei este egal cu:

1. A. $512\pi$ cm$^3$
2. B. $\frac{2048\pi}{3}$ cm$^3$
3. C. $2048\pi$ cm$^3$
4. D. $\frac{16384\pi}{3}$ cm$^3$

1. (5p) Un centru de închiriere a bicicletelor cere o taxă fixă și o sumă pentru fiecare oră de folosire. Pentru $2$ ore se plătesc în total $26$ de lei, iar pentru $5$ ore se plătesc în total $47$ de lei. a) ($2$p) Este posibil ca taxa fixă să fie de $10$ lei? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină suma plătită în total pentru $8$ ore.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2+4x}{x^2-4}:\frac{x}{x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -2$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x-2}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -2$, $x\neq 0$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

3. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(2m+1)x-12$, unde $m$ este un număr real. Punctul $B(1,-5)$ aparține graficului funcției $f$. a) ($2$p) Arată că $m=3$. b) ($3$p) Pentru $m=3$, determină punctele graficului funcției $f$ care se află la aceeași distanță de axa $Ox$ și de axa $Oy$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=22$ cm și $AD=11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$. a) ($2$p) Arată că triunghiul $ADM$ este isoscel. b) ($3$p) Demonstrează că dreptele $DM$ și $CM$ sunt perpendiculare.

5. (5p) În figura alăturată, $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, iar dreapta $BD$ este tangentă cercului în punctul $B$. Dreapta $AD$ intersectează a doua oară cercul în punctul $C$, astfel încât $AC=8$ cm și $CD=10$ cm. a) ($2$p) Arată că $AB=12$ cm. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $BCD$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$, cu $AB=16$ cm și $AA'=8$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$. a) ($2$p) Arată că volumul prismei este egal cu $512\sqrt{3}$ cm$^3$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A'$ la dreapta $BC$.