Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $3\cdot(17-2\cdot 5)^2-100$ este egal cu:

1. A. $-58$
2. B. $47$
3. C. $341$
4. D. $467$

2. (5p) Numărul $0{,}4(5)$, scris sub formă de fracție ireductibilă, este:

1. A. $\frac{5}{11}$
2. B. $\frac{41}{90}$
3. C. $\frac{1}{2}$
4. D. $\frac{43}{45}$

3. (5p) Rezultatul calculului $\frac{35}{\sqrt{7}}+\sqrt{28}$ este egal cu:

1. A. $\sqrt{5}+2\sqrt{7}$
2. B. $5+2\sqrt{7}$
3. C. $7\sqrt{7}$
4. D. $37\sqrt{7}$

4. (5p) Cel mai mic număr natural $x$ care verifică inegalitatea $5x-3>2x+14$ este:

1. A. $3$
2. B. $4$
3. C. $5$
4. D. $6$

5. (5p) Într-un atelier de biciclete sunt $40$ de camere de bicicletă, dintre care $15$ sunt defecte. Se alege la întâmplare o cameră. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat probabilitatea ca aceasta să nu fie defectă și au obținut: Ana $\frac{5}{8}$, Bogdan $\frac{3}{8}$, Carmen $\frac{3}{5}$, Dan $\frac{5}{3}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „$\left|2\sqrt{6}-5\right|=2\sqrt{6}-5$” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=CD$, $BC=14$ cm și $AD=44$ cm. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

1. A. $15$ cm
2. B. $22$ cm
3. C. $29$ cm
4. D. $30$ cm

2. (5p) În figura alăturată, unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$ sunt unghiuri în jurul punctului $O$, iar măsurile lor sunt direct proporționale cu numerele $1$, $3$, $4$ și $7$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

1. A. $48^\circ$
2. B. $72^\circ$
3. C. $96^\circ$
4. D. $168^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=34$ cm și $CD=16$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AD$, respectiv $BC$, iar segmentul $MN$ intersectează diagonala $AC$ în punctul $P$. Lungimea segmentului $PN$ este egală cu:

1. A. $8$ cm
2. B. $17$ cm
3. C. $25$ cm
4. D. $34$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu diagonala $AC=26$ cm. Aria pătratului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $52\sqrt{2}$ cm$^2$
2. B. $169$ cm$^2$
3. C. $338$ cm$^2$
4. D. $676$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, coarda $AB$ a cercului de centru $O$ are lungimea de $14$ cm, iar distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este $OM=5$ cm. Raza cercului este egală cu:

1. A. $2\sqrt{6}$ cm
2. B. $\sqrt{74}$ cm
3. C. $12$ cm
4. D. $2\sqrt{74}$ cm

6. (5p) O bilă de oțel în formă de sferă, cu raza de $15$ mm, este topită, iar din tot metalul se toarnă bile de rulment pentru biciclete, tot în formă de sferă, cu raza de $3$ mm. Fără pierderi de metal, numărul bilelor de rulment obținute este:

1. A. $5$
2. B. $15$
3. C. $25$
4. D. $125$

1. (5p) Un magazin a vândut în trei luni toate bicicletele dintr-un lot. În prima lună a vândut $30\%$ din bicicletele lotului, în a doua lună $40\%$ din bicicletele rămase, iar în a treia lună ultimele $63$ de biciclete. a) ($2$p) Este posibil ca lotul să fi avut $250$ de biciclete? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul bicicletelor din lot.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+4)^2-(2x+1)^2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(3-x)(3x+5)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr prim.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=-x+9$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x-6$. a) ($2$p) Arată că punctul $A(5,4)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $B$, iar graficul funcției $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $C$. Determină aria triunghiului $ABC$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu latura de $20$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $BC$, astfel încât $BE=5$ cm, iar dreptele $AE$ și $BD$ se intersectează în punctul $F$. a) ($2$p) Arată că $AE=5\sqrt{17}$ cm. b) ($3$p) Determină aria triunghiului $ABF$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este un diametru al cercului de centru $O$, cu $AB=18$ cm. Punctul $M$ aparține segmentului $AO$, astfel încât $AM=3$ cm, iar perpendiculara în $M$ pe dreapta $AB$ intersectează cercul în punctele $C$ și $D$. Tangenta la cerc în punctul $C$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $T$. a) ($2$p) Arată că $CD=6\sqrt{5}$ cm. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $CT$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB=8$ cm și $AA'=7$ cm. Punctul $O$ este centrul pătratului $ABCD$. a) ($2$p) Arată că aria totală a prismei este egală cu $352$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $A$ la planul $(A'BD)$.