Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $120-(2^6+8\cdot 3):4$ este egal cu:

1. A. $8$
2. B. $98$
3. C. $105$
4. D. $111$

2. (5p) Anemometrul unei stații meteo a măsurat viteza vântului: $54$ de kilometri pe oră. Exprimată în metri pe secundă, viteza vântului este egală cu:

1. A. $0{,}9$
2. B. $1{,}5$
3. C. $5{,}4$
4. D. $15$

3. (5p) La ora $6$ dimineața, termometrul unei stații meteo arăta $-7^\circ\mathrm{C}$. Până la ora $14$, temperatura a crescut cu $12^\circ\mathrm{C}$, iar apoi, până la ora $22$, a scăzut cu $9^\circ\mathrm{C}$. La ora $22$, temperatura arătată de termometru, în grade Celsius, era:

1. A. $-16$
2. B. $-10$
3. C. $-4$
4. D. $10$

4. (5p) Numărul numerelor întregi $x$ care verifică inegalitatea $|2x-5|\le 3$ este egal cu:

1. A. $4$
2. B. $5$
3. C. $7$
4. D. $9$

5. (5p) O stație meteo a înregistrat, în șase zile, următoarele viteze maxime ale vântului, în kilometri pe oră: $12$, $26$, $17$, $9$, $31$, $13$. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat mediana acestor date. Rezultatele obținute sunt: Ana $13$, Bogdan $17$, Carmen $15$, Dan $18$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Afirmația „Soluțiile ecuației $x^2+x=42$ sunt numerele $6$ și $7$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=2\cdot BC=3\cdot CD$ și $AD=55$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

1. A. $15$ cm
2. B. $27{,}5$ cm
3. C. $35$ cm
4. D. $50$ cm

2. (5p) În figura alăturată, dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar punctul $E$ se află între ele, astfel încât $m(\sphericalangle ABE)=33^\circ$ și $m(\sphericalangle CDE)=59^\circ$. Măsura unghiului $BED$ este egală cu:

1. A. $26^\circ$
2. B. $59^\circ$
3. C. $88^\circ$
4. D. $92^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, iar punctele $D\in AB$ și $E\in AC$ sunt astfel încât $DE\parallel BC$. Se știe că $AD=16$ cm, $DB=6$ cm și $EC=9$ cm. Lungimea laturii $AC$ este egală cu:

1. A. $22$ cm
2. B. $24$ cm
3. C. $25$ cm
4. D. $33$ cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, baza mare $AB=20$ cm, baza mică $CD=6$ cm și $m(\sphericalangle DAB)=45^\circ$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $91$ cm$^2$
2. B. $91\sqrt{2}$ cm$^2$
3. C. $140$ cm$^2$
4. D. $182$ cm$^2$

5. (5p) În figura alăturată, dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente cercului de centru $O$ în punctele $A$, respectiv $B$, iar unghiul $APB$ are măsura de $54^\circ$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

1. A. $36^\circ$
2. B. $54^\circ$
3. C. $108^\circ$
4. D. $126^\circ$

6. (5p) Mâneca de vânt a unei stații meteo, din figura alăturată, are forma suprafeței laterale a unui trunchi de con circular drept, cu razele bazelor de $15$ cm și $6$ cm și generatoarea de $90$ cm. Aria materialului din care este făcută mâneca (aria laterală a trunchiului de con) este egală cu:

1. A. $810\pi$ cm$^2$
2. B. $1890\pi$ cm$^2$
3. C. $2151\pi$ cm$^2$
4. D. $3780\pi$ cm$^2$

1. (5p) Pentru stația meteo a unei școli s-au cumpărat $12$ aparate: termometre, cu $45$ de lei bucata, și higrometre, cu $70$ de lei bucata. Pentru toate aparatele s-au plătit $640$ de lei. a) ($2$p) Este posibil să se fi cumpărat $5$ higrometre? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul higrometrelor cumpărate.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}\right)\cdot\frac{x-2}{x^2+4}$, unde $x$ este număr real, $x\neq -2$ și $x\neq 2$. a) ($2$p) Arată că $\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{x^2+4}{x^2-4}$, pentru orice număr real $x$, $x\neq -2$ și $x\neq 2$. b) ($3$p) Arată că $E(\sqrt{3}-2)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=-4x+14$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x-1$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(3,2)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Oy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează aria triunghiului $PAB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria de $108$ cm$^2$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar dreptele $AM$ și $BD$ se intersectează în punctul $P$. a) ($2$p) Arată că $\frac{BP}{PD}=\frac{1}{2}$. b) ($3$p) Arată că aria patrulaterului $PMCD$ este egală cu $45$ cm$^2$.

5. (5p) Un balon meteorologic se ridică vertical din punctul $B$ al unui teren orizontal. Când balonul ajunge în punctul $C$, el este privit din punctul $A$ al terenului, aflat la $80$ m de $B$, ca în figura alăturată, iar $\operatorname{tg}(\sphericalangle BAC)=2$. Punctul $H$ este piciorul perpendicularei din $B$ pe dreapta $AC$. a) ($2$p) Arată că balonul se află la înălțimea $BC=160$ m. b) ($3$p) Determină lungimea segmentului $AH$.

6. (5p) Acoperișul pavilionului unei stații meteo are forma piramidei patrulatere regulate $VABCD$ din figura alăturată, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=18$ dm și înălțimea $VO=6$ dm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, iar $N$ este piciorul perpendicularei din $O$ pe dreapta $VM$. a) ($2$p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $108\sqrt{13}$ dm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$.