Matematică

1. (5p) Rezultatul calculului $200-6\cdot(29-4\cdot 5)$ este egal cu:

1. A. $6$
2. B. $80$
3. C. $146$
4. D. $1746$

2. (5p) Numărul membrilor clubului de șah al unei școli este mai mare decât $100$ și mai mic decât $300$. Dacă membrii se împart în grupe de câte $10$, de câte $12$ sau de câte $18$, de fiecare dată rămâne negrupat exact un membru. Numărul membrilor clubului este:

1. A. $121$
2. B. $180$
3. C. $181$
4. D. $217$

3. (5p) Rezultatul calculului $(\sqrt{98}-\sqrt{50})\cdot\sqrt{2}$ este egal cu:

1. A. $2\sqrt{2}$
2. B. $4$
3. C. $14-5\sqrt{2}$
4. D. $4\sqrt{6}$

4. (5p) La un turneu de șah, fiecare participant a jucat exact o partidă cu fiecare dintre ceilalți participanți. În total s-au jucat $78$ de partide. Numărul participanților la turneu este egal cu:

1. A. $12$
2. B. $13$
3. C. $39$
4. D. $156$

5. (5p) Se alege la întâmplare unul dintre cele $64$ de pătrățele ale unei table de șah, așezate în $8$ rânduri a câte $8$ pătrățele. Patru elevi, Ana, Bogdan, Carmen și Dan, au calculat probabilitatea ca pătrățelul ales să fie pe marginea tablei (să aibă cel puțin o latură pe conturul tablei). Rezultatele obținute sunt: Ana $\frac{1}{2}$, Bogdan $\frac{9}{16}$, Carmen $\frac{3}{8}$, Dan $\frac{7}{16}$. Rezultatul corect a fost obținut de:

1. A. Ana
2. B. Bogdan
3. C. Carmen
4. D. Dan

6. (5p) Cei $6$ membri ai echipei de șah a unei școli au obținut la un turneu următoarele punctaje: $4{,}5$; $3$; $6$; $2{,}5$; $5$; $3$. Afirmația „Media punctajelor celor $6$ membri este egală cu $4$.” este:

1. A. adevărată
2. B. falsă

1. (5p) În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=3\cdot BC$, $CD=2\cdot AB$ și $AD=50$ cm. Lungimea segmentului $BD$ este egală cu:

1. A. $5$ cm
2. B. $15$ cm
3. C. $30$ cm
4. D. $35$ cm

2. (5p) În figura alăturată, $m(\sphericalangle AOB)=116^\circ$, semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOC$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

1. A. $29^\circ$
2. B. $58^\circ$
3. C. $87^\circ$
4. D. $145^\circ$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $m(\sphericalangle ABC)=24^\circ$. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$. Măsura unghiului $AMC$ este egală cu:

1. A. $24^\circ$
2. B. $48^\circ$
3. C. $66^\circ$
4. D. $132^\circ$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentată o tablă de șah $ABCD$, în formă de pătrat, împărțită în $64$ de pătrățele cu latura de $3$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DE=15$ cm. Aria patrulaterului $ABCE$ este egală cu:

1. A. $180$ cm$^2$
2. B. $396$ cm$^2$
3. C. $576$ cm$^2$
4. D. $792$ cm$^2$

5. (5p) Octogonul regulat $ABCDEFGH$ din figura alăturată are vârfurile pe cercul de centru $O$. Unghiul $ADB$ are măsura egală cu:

1. A. $22^\circ 30'$
2. B. $45^\circ$
3. C. $67^\circ 30'$
4. D. $135^\circ$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu muchia de $14$ cm. Aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

1. A. $49\sqrt{3}$ cm$^2$
2. B. $147\sqrt{3}$ cm$^2$
3. C. $196\sqrt{3}$ cm$^2$
4. D. $392\sqrt{3}$ cm$^2$

1. (5p) La un turneu de șah, o partidă câștigată aduce $1$ punct, o remiză aduce $0{,}5$ puncte, iar o partidă pierdută nu aduce niciun punct. Andrei a jucat $13$ partide, nu a pierdut niciuna și a obținut în total $9{,}5$ puncte. a) ($2$p) Este posibil ca Andrei să fi încheiat $5$ partide la remiză? Justifică răspunsul dat. b) ($3$p) Determină numărul partidelor câștigate de Andrei.

2. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(x+1)(x+4)+2$, unde $x$ este număr real. a) ($2$p) Arată că $E(x)=(x+2)(x+3)$, pentru orice număr real $x$. b) ($3$p) Arată că, pentru orice număr natural $n$, numărul $E(n)$ este par și nu este pătrat perfect.

3. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=5x-8$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=-3x+16$. a) ($2$p) Arată că punctul $P(3,7)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și graficului funcției $g$. b) ($3$p) Graficele funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Oy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină aria triunghiului $PAB$.

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=17$ cm, $AC=30$ cm și $BD=16$ cm. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. a) ($2$p) Arată că dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare. b) ($3$p) Determină distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$.

5. (5p) În figura alăturată, segmentul $AB$ este diametru al cercului de centru $O$, punctul $C$ aparține cercului, iar $D$ este piciorul perpendicularei din $C$ pe dreapta $AB$. Se știe că $AD=2$ cm și $DB=16$ cm. a) ($2$p) Arată că $CD=4\sqrt{2}$ cm. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$.

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=16$ cm și înălțimea $VO=4\sqrt{5}$ cm, unde $O$ este centrul bazei. a) ($2$p) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $384$ cm$^2$. b) ($3$p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$.